Enunciado

Calcule a integral.

int (d t)/(t^2 sqrt(t^2 - 16))

Passo 1

Opa! Bora fazer essa questão? Temos que calcular a seguinte integral:

int (d t)/(t^2 sqrt(t^2 - 16))

Para resolvermos essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. No nosso denominador temos uma expressão com essa carinha aqui:

sqrt(x^2 - a^2)

Concorda?!

Nesse tipo de caso podemos fazer o seguinte tipo de substituição:

x = a sec theta

Para a nossa integral temos:

a^2 = 16

a = 4

Então usaremos a Regra da Substituição Simples usando a seguinte troca de variável:

t = 4 sec theta

Eu sei isso não é nada intuitivo! Mas existe uma tabelinha no livro que nos indica as substituições que funcionam, aí pra prova o negócio é fazer bastante exercício pra você ser capaz de olhar pra integral e já identificar o tipo de substituição!

Passo 2

Agora vamos substituir t pela nova variável, precisamos derivar 4 sec theta :

(d)/(d theta) ( 4 sec theta ) = 4 sec (theta) t g (theta) d theta

Essa é uma derivada tabelada! Substituindo:

int (4 sec (theta) t g (theta) d theta)/((4 sec theta)^2 sqrt((4 sec theta)^2 - 16))

-Tem certeza que esse é o caminho certo?! A integral ficou horrorosa!!!

Calma...calma, agora a gente vai usar a identidade trigonométrica:

1 + t g^2 (theta) = sec^2 (theta)

Logo,

sec^2 (theta) - 1 = t g^2 (theta)

Multiplicando por 16 dos dois lados:

16 sec^2 (theta) - 16 = 16 t g^2 (theta)

Assim,

(4 sec (theta))^2 - 16 = 16 t g^2 (theta)

Então:

int (4 sec (theta) t g (theta) d theta)/((4 sec theta)^2 sqrt(16 t g^2 (theta)))

Passo 3

Agora a gente simplifica:

int (4 sec (theta) t g (theta) d theta)/((4 sec theta)^2 sqrt(16 t g^2 (theta))) = int (4 sec (theta) t g (theta) d theta)/((4 sec theta)^2 4 t g (theta))

= int (1)/(16 xx sec theta) d theta

(1)/(16) int (1)/(sec theta) d theta

Lembra que:

sec theta = (1)/(cos theta)

Então:

(1)/(16) int cos theta d theta

E não é que a substituição ajudou?!

Passo 4

Agora vamos resolver e voltar pra variável original:

(1)/(16) int cos theta d theta = (1)/(16) sin theta + C

Lembrando que:

t = 4 sec (theta)

Que é o mesmo que:

cos theta = (4)/(t)

Vamos precisar usar identidade trigonométrica de novo, agora usaremos:

s e n^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1

s e n^2 (theta) + ((4)/(t))^2 = 1

s e n^2 (theta) = 1 - (16)/(t^2)

Temos:

s e n theta = (sqrt(t^2 - 16))/(t)

Finalmente chegamos em:

int (d t)/(t^2 sqrt(t^2 - 16)) = (sqrt(t^2 - 16))/(16 t)

Uhuuuul!

Resposta

int (d t)/(t^2 sqrt(t^2 - 16)) = (sqrt(t^2 - 16))/(16 t)

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