Enunciado

Um fabricante de lâmpadas quer produzir lâmpadas que durem cerca de 700 horas, mas naturalmente algumas lâmpadas queimam mais rapidamente que outras. Seja F ( t ) a fração de lâmpadas da companhia que queimam antes de t horas; assim F ( t ) está entre 0 e 1 .

a Faça um esboço de como você acha que o gráfico de F deve parecer.

b Qual o significado da derivada r t = F ' t ?

c Qual o valor de ∫ 0 ∞ r t d t ? Por quê?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos disse que o fabricante quer fazer com que as lâmpadas durem cerca de 700 horas, só que ele tem o problema delas queimarem antes de t horas e são definidas pela função F ( t ) , que está entre 0 e 1 .

Ele pediu pra gente esboçar um gráfico estimado de F , dizer qual o significado da derivada r t = F ' t e calcular o valor de ∫ 0 ∞ r t d t .

Então, vamos lá interpretar esse problema e calcular a integral pedida.

Passo 2

Nós podemos esperar que uma pequena porcentagem de lâmpadas queime nas primeiras centenas de horas, e a maioria das lâmpadas queime depois, perto de 700 horas, com algumas delas queimando continuamente.

Assim, podemos esboçar o gráfico de F ( t ) na forma:

a

b Sendo assim, a derivada r t = F ' t é a taxa na qual a fração de lâmpadas da companhia que queimam antes de t horas aumenta conforme as horas passam, ou seja, conforme t aumenta.

Passo 3

c Agora vamos entender o significado da integral:

∫ 0 ∞ r t d t

Observe que ela é a integral da derivada da nossa função F . Logo, ela é igual a F ( t ) quando o tempo t vai de 0 até infinito, ou seja:

∫ 0 ∞ r t d t = lim t∞ ⁡ F t

Como o enunciado nos diz que F ( t ) está entre 0 e 1 , temos:

= 1

Isso ocorre porque para a variação de tempo especificada da integral 0   a   ∞ , temos que todas as lâmpadas, irão queimar algum dia.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a

b A derivada r t é a taxa na qual a fração de lâmpadas da companhia que queimam antes de t horas aumenta conforme t aumenta.

c

∫ 0 ∞ r t d t = lim t∞ ⁡ F t = 1

Isso ocorre pois na variação de tempo especificada da integral 0   a   ∞ , temos que todas as lâmpadas, irão queimar algum dia.

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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