Calcule a integral.

∫ x 2 x 6 + 3 x 3 + 2 d x

Passo 1

Para resolvermos esse integral vamos começar fatorando o denominador. Vem comigo!

x 6 + 3 x 3 + 2

Repara que isso é uma equação do segundo grau em x 3 :

x 3 2 + 3 x 3 + 2

Então as raízes ficam o seguinte:

x 3 = - 3 ± 9 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 1

Fazendo as contas, as raízes ficam:

- 2 e - 1

Fatorando:

x 6 + 3 x 3 + 2 = x 3 + 1 x 3 + 2

Passo 2

Reescrevendo nossa integral:

I = ∫ x 2 x 3 + 1 x 3 + 2 d x

Agora bora fazer a seguinte substituição:

u = x 3 + 1

Derivando,

d u = 3 x 2 d x → x 2 d x = 1 3 d u

E colocarmos a integral em termos de u :

I = ∫ 1 u u + 1 1 3 d u

Tirando as constantes:

I = 1 3 ∫ 1 u u + 1 d u

Passo 3

Separando em frações parciais:

1 u u + 1 = 1 u - 1 u + 1

Assim,

I = 1 3 ∫ 1 u - 1 u + 1 d u

Isto é,

I = 1 3 ∫ 1 u d u - 1 3 ∫ 1 u + 1 d u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Integrando:

I = 1 3 ln ⁡ u - 1 3 ln ⁡ u + 1 + k

Não esquece da constante em!! Voltando para variável x :

I = 1 3 ln ⁡ x 3 + 1 - 1 3 ln ⁡ x 3 + 2 + k

Resposta

I = 1 3 ln ⁡ x 3 + 1 - 1 3 ln ⁡ x 3 + 2 + k

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