Enunciado

Uma esteira transportadora está descarregando cascalho de 3 m 3 / m i n , constituindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido cresce a altura da pilha quando está a 3   m de altura?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma esteira transportadora como mostra o desenho abaixo:

Ela tá descarregando cascalho a uma taxa de 3 m 3 / m i n e formando uma pilha cônica com o diâmetro da base e altura sempre igual. Queremos saber quanto é:

h ' 3 = ? ? ?

O volume da pilha de cascalho de altura h e raio r é dada por:

V = π r 2 h 3

Como o diâmetro da base que é o dobro do raio é sempre igual à altura, então:

h = 2 r ⇒ r = h 2

Então, o volume é dado por:

V = π h 2 2 h 3

V = π h 3 12

Passo 2

Derivando em função do tempo t em minutos, temos:

V ' t = π 12 × 3 × h 2 × h ' t = π 4 × h 2 × h ' t

h ' t = 4 V ' t π h 2

Então, quando h = 3 metros e V ' t = 3 m 3 / m i n .

h ' t = 4 3 π 3 2 = 4 3 π

Logo, a altura varia a uma razão de 4 3 π metros por minuto.

Resposta

A altura varia a uma razão de 4 3 π metros por minuto.

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