Calcule a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y

Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de u e qual será o d v , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo u , sendo que o d v será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como u :

Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial

Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o u errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.

Passo 2

Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:

u = tg - 1 ⁡ 2 y ; d v = d y

Agora, calculando d u e v :

u = tg - 1 ⁡ 2 y → d u = 2 1 + 4 y 2 d y

d v = d y → v = y

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y = tg - 1 ⁡ 2 y y - ∫ y 2 1 + 4 y 2 d y

Reescrevendo a expressão, temos:

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y = y tg - 1 ⁡ 2 y - ∫ 2 y 1 + 4 y 2 d y

Agora precisamos usar a técnica da substituição para resolver a integral que sobrou, fazendo:

t = 1 + 4 y 2 → d t = 8 y d y → 2 y d y = d t 4

Então substituindo esses valores na integral anterior:

∫ 2 y 1 + 4 y 2 d y = ∫ 1 t d t 4 = 1 4 ∫ d t t

E, resolvendo essa integral, temos:

∫ 2 y 1 + 4 y 2 d y = 1 4 ln ⁡ | t | + C

Passo 3

Então substituindo o útlimo valor obtido no passo 2 na integral lá de cima, temos:

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y = y tg - 1 ⁡ 2 y - ∫ 2 y 1 + 4 y 2 d y

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y = y tg - 1 ⁡ 2 y - 1 4 ln ⁡ t + C

Voltando para y , substituindo t = 1 + 4 y 2 ,   o resultado será:

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y = y tg - 1 ⁡ 2 y - 1 4 ln ⁡ 1 + 4 y 2 + C

Resposta

∫ tg - 1 ⁡ 2 y d y = y tg - 1 ⁡ 2 y - 1 4 ln ⁡ 1 + 4 y 2 + C

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