Enunciado

Calcule a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

int tg^(- 1) 2 y d y

Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de u e qual será o d v , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo u , sendo que o d v será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como u :

Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial

Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o u errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.

Passo 2

Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:

u = tg^(- 1) 2 y ; d v = d y

Agora, calculando d u e v :

u = tg^(- 1) 2 y -> d u = (2)/(1 + 4 y^2) d y

d v = d y -> v = y

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:

int tg^(- 1) 2 y d y = tg^(- 1) 2 y (y) - int y ((2)/(1 + 4 y^2) d y)

Reescrevendo a expressão, temos:

int tg^(- 1) 2 y d y = y tg^(- 1) 2 y - int ((2 y)/(1 + 4 y^2)) d y

Agora precisamos usar a técnica da substituição para resolver a integral que sobrou, fazendo:

t = 1 + 4 y^2 -> d t = 8 y d y -> 2 y d y = (d t)/(4)

Então substituindo esses valores na integral anterior:

int ((2 y)/(1 + 4 y^2)) d y = int (1)/(t) ((d t)/(4)) = (1)/(4) int (d t)/(t)

E, resolvendo essa integral, temos:

int ((2 y)/(1 + 4 y^2)) d y = (1)/(4) ln | t | + C

Passo 3

Então substituindo o útlimo valor obtido no passo 2 na integral lá de cima, temos:

int tg^(- 1) 2 y d y = y tg^(- 1) 2 y - int ((2 y)/(1 + 4 y^2)) d y

int tg^(- 1) 2 y d y = y tg^(- 1) 2 y - (1)/(4) ln |t| + C

Voltando para y , substituindo t = 1 + 4 y^2 , o resultado será:

int tg^(- 1) 2 y d y = y tg^(- 1) 2 y - (1)/(4) ln |1 + 4 y^2| + C

Resposta

int tg^(- 1) 2 y d y = y tg^(- 1) 2 y - (1)/(4) ln |1 + 4 y^2| + C

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