Calcule a integral.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ cos - 1 ⁡ x d x

Como sabemos que essa seção do livro aborda integrais por partes, devemos primeiro nos lembrar da fórmula para integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Agora, outra coisa muito importante é saber qual termo da integral em análise chamaremos de u e qual será o d v , para isso, vamos sempre recorrer a uma regra básica para selecionar o termo u , sendo que o d v será o restante da expressão. A regra diz que devemos seguir a seguinte ordem de funções para selecionar como u :

Logarítma -> Inversa Trigonométrica -> Algébrica -> Trigonométrica -> Exponencial

Obedecendo essa regra, não perdemos tempo selecionando o u errado, e resolvendo toda a integral para somente no final perceber que praticamente não saímos do lugar.

Passo 2

Então, para esse exercício, recorrendo a regrinha do passo 1, teremos:

u = cos - 1 ⁡ x ; d v = d x

Agora, calculando d u e v :

u = cos - 1 ⁡ x → d u = - 1 1 - x 2 d x

d v = d x → v = x

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da integração por partes:

∫ cos - 1 ⁡ x d x = cos - 1 ⁡ x x - ∫ x - 1 1 - x 2 d x

Reescrevendo a expressão, temos:

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x + ∫ x 1 - x 2 d x

Agora vamos precisar usar a técnica da subsituição para a segunda integral, fazendo:

t = 1 - x 2 → d t = - 2 x d x → x d x = - d t 2

Substituindo esses valores para a integral anterior, temos:

∫ x 1 - x 2 d x = ∫ 1 t - d t 2 = - 1 2 ∫ d t t

Agora, resolvendo essa integral, temos:

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 2 2 t 1 2 + C

Passo 3

Então resolvendo a integral obtida no passo 2, substituindo o valor obtido para a segunda integral no passo 2, temos:

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x + ∫ x 1 - x 2 d x

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x - 1 2 2 t 1 2 + C

Voltando para x , substituindo t = 1 - x 2 , o resultado será:

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2 + C

Resposta

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2 + C

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