Calcule a integral.

5 .   ∫ x 2 - 1 x 4 d x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho? 😊

Nesse problema queremos calcular a integral

∫ x 2 - 1 x 4 d x

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

x = sec ⁡ θ

⇒ θ = sec - 1 ⁡ x

d x = tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Veja só! 😎

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ x 2 - 1 x 4 d x → ∫ ( sec ⁡ θ ) 2 - 1 ( sec ⁡ θ ) 4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

∫ tan ⁡ θ ( sec ⁡ θ ) 4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Agora vamos fazer mais uma substituição da seguinte forma:

u = sin ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

Temos que nossa integral fica:

∫ u 2 d u = u 3 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora precisamos voltar as substituições que fizemos. Tínhamos que:

u = sin ⁡ θ

Então:

sin 3 ⁡ θ 3

E temos que:

θ = sec - 1 ⁡ x

Logo:

sin 3 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) 3

Para continuarmos, teremos que usar o seguinte resultado:

sin ⁡ ( sec - 1 ⁡ z ) = 1 - 1 z 2

Usando isso ao nosso favor, teremos que:

sin 3 ⁡ sec - 1 ⁡ x 3 = 1 3 1 - 1 x 2 3

Portanto, finalmente chegamos em

∫ x 2 - 1 x 4 d x = 1 3 1 - 1 x 2 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x 2 - 1 x 4 d x = 1 3 1 - 1 x 2 3

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