Enunciado

Encontre as funções (a) f @ g , (b) g @ f , (c) f @ f e (d) g @ g e seus domínios.

f (x) = sqrt(x + 1) , g (x) = 4 x - 3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom pessoal... neste exercício é pedido para calcular as funções compostas dadas para as seguintes funções:

f (x) = sqrt(x + 1)

E

g (x) = 4 x - 3

Lembrando que:

f @ g = f [g (x)]

Isto quer dizer que no lugar no x da função f , vamos usar g ( x ) .

Ah, a gente também tem que mostrar o domínio dessas funções compostas.

Lembrando que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável independente (geralmente denotada por x ) pode assumir, de modo que a função seja definida para esses valores.

E aí?? Bora aplicar?? 😉

Passo 2

Na letra a), temos:

f @ g = f [g (x)] :.

f @ g = sqrt((4 x - 3) + 1) :.

f @ g = sqrt(4 x - 2)

Esta função não está definida nos reais quando a raiz dá um numero negativo.

Então temos que ver para quais x isto não acontece.

4 x - 2 >= 0 -> x >= (1)/(2)

D = [(1)/(2) , oo)

Passo 3

Na letra b), temos:

g @ f = g [f (x)] :.

g @ f = 4 (sqrt(x + 1)) - 3

Novamente, esta função não está definida nos reais quando a raiz dá um número negativo.

Então temos que ver para quais x isto não acontece.

x + 1 >= 0 -> x >= - 1

D = [- 1 , oo)

Passo 4

Na letra c), temos:

f @ f = f [f (x)] :.

f @ f = sqrt(sqrt(x + 1) + 1)

Para definir o domínio, temos que ver para quais valores das duas raízes (A grande e a pequena) são positivas ou iguais a zero.

Para isso, temos:

x + 1 >= 0 :.

x >= - 1

Logo, o domínio será o intervalo [- 1 , oo) , ou seja:

D = [- 1 , oo)

Passo 5

Na letra d), temos:

g @ g = g [g (x)] :.

g @ g = 4 (4 x - 3) - 3 :.

g @ g = 16 x - 1 5

Aqui não há restrições.

Portanto, o domínio D são todos os números reais, ou seja:

D = I R

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

a ) f @ g = sqrt(4 x - 2)

D = [(1)/(2) , oo)

b ) g @ f = 4 (sqrt(x + 1)) - 3

D = [- 1 , oo)

c ) f @ f = sqrt(sqrt(x + 1) + 1)

D = [- 1 , oo)

d ) g @ g = 16 x - 15

D = I R

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