Calcule a integral.

∫ 3 - 2 x - x 2 d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f x = 3 - 2 x - x 2 . Pra isso, primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa.

Vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz, fatorando ela na forma:

∫ 3 - 2 x - x 2 d x = ∫ - x 2 + 2 x + 1 + 4 d x = ∫ - x + 1 2 + 2 2 d x

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer. Repare que isso tem cara de substituição trigonométrica, porque nossa raiz agora tem a forma a 2 - x 2 . Isso nos indica que podemos usar a substituição:

x = a sen ⁡ x

Assim, teremos:

x + 1 = 2 sen ⁡ θ → θ = sen - 1 ⁡ x + 1 2

Vamos agora achar diferencial:

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo isso na função, vamos calcular nossa integral em relação a θ e depois vamos voltar à nossa variável original x .

Vamos lá!

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - x + 1 2 + 2 2 d x = ∫ - 4 sen 2 ⁡ θ + 4   2 cos ⁡ θ d θ

Colocando 4 em evidência dentro da raiz:

∫ 4 - sen 2 ⁡ θ + 1   2 cos ⁡ θ d θ

Usando a identidade cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ , temos:

= ∫ 4 cos 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ

E tirando a raiz quadrada:

∫   2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫   4 cos 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica, fazendo cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 :

= 2 ∫   1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= 2 ∫   d θ + 2 ∫   cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

2 ∫   d θ + 2 ∫   cos ⁡ 2 θ d θ = 2 θ + 2 sen ⁡ 2 θ 2 + C = 2 θ + sen ⁡ 2 θ + C

Como sin ⁡ 2 θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ , podemos escrever:

= 2 θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Passo 4

Agora só falta voltarmos a nossa variável original x , usando a substituição que fizemos lá no primeiro passo ( θ = sen - 1 ⁡ x + 1 2 ). Assim, teremos:

∫ 3 - 2 x - x 2 d x

= 2 θ + sen ⁡ 2 θ + C

= 2 sin - 1 ⁡ x + 1 2 + sen ⁡ 2 sen - 1 ⁡ x + 1 2 ∙ 2 3 - 2 x - x 2 + C

Simplificando:

= 2 sin - 1 ⁡ x + 1 2 + x + 1 2 3 - 2 x - x 2 + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ 3 - 2 x - x 2 d x = 2 sin - 1 ⁡ x + 1 2 + x + 1 2 3 - 2 x - x 2 + C

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