Enunciado

Calcule a integral.

int arctan sqrt(x) d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f (x) = arctan sqrt(x) . Pra isso, primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa.

A expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma substituição. Como temos uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, pra tentar simplificar as coisas na hora de integrar. Assim, teremos a seguinte mudança de variável:

u = sqrt(x) -> u^2 = x

E aí falta achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = d x

Então, vamos substituir isso na nossa integral, calcular em relação a variável u e depois voltar à nossa variável original x .

Vamos lá!

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

int arctg sqrt(x) d x = int 2 u arctg u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, mas ainda dá pra melhorar isso. Será que dá pra fazer outra substituição? Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então não vai adiantar muito. Vamos tentar a Integração por Partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (u) = arctg u e g ' (u) = 2 u d u :

f^' (u) = (1)/(1 + u^2) d u e g (u) = u^2

Vamos substituir agora:

int 2 u arctg u d u = u^2 arctg u - int u^2 . (1)/(1 + u^2) d u

= u^2 arctg u - int (u^2)/(1 + u^2) d u

Pronto, agora vamos fazer uma manipulação nessa integral que achamos, vamos lá:

int (u^2)/(1 + u^2) d u = int 1 - (1)/(1 + u^2) d u

E como a integral da soma é igual a soma das integrais, temos:

= int 1 d u + int - (1)/(1 + u^2) d u

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int (d x)/(x^2 + a^2) = (1)/(a) arctg ((x)/(a))

Então ficamos com:

int (u^2)/(1 + u^2) d u = int 1 d u + int - (1)/(1 + u^2) d u

= u - (1)/(1) arctg ((u)/(1)) + C

Simplificando:

= u - arctg (u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = sqrt(x) . Assim, temos:

int arctg sqrt(x) d x = u^2 arctg u - u + arctg (u) + C

= x arctg sqrt(x) - sqrt(x) + arctg (sqrt(x)) + C

Onde C é uma constante de integração.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

int arctg sqrt(x) d x = x arctg sqrt(x) - sqrt(x) + arctg (sqrt(x)) + C

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