Calcule a integral.

∫ 1 x 4 x 2 + 1 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: bem, vamos fazer uma substituição usando 2 x = tg ⁡ θ :

x = tg ⁡ θ 2 → θ = tg - 1 ⁡ 2 x

Derivando temos:

d x = sec 2 ⁡ θ 2 d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x 4 x 2 + 1 d x = ∫ 1 tg ⁡ θ 2 4 tg ⁡ θ 2 2 + 1 sec 2 ⁡ θ 2 d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ tg 2 ⁡ θ + 1 d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ cossec ⁡ θ d θ

Lembrando que aqui usamos a identidade: tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cossec ⁡ x d x = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ cossec ⁡ θ d θ = ln ⁡ cossec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

Passo 3

Voltando a expressão inicial temos:

∫ 1 x 4 x 2 + 1 d x = ∫ cossec ⁡ θ d θ = ln ⁡ cossec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , temos que θ = tg - 1 ⁡ 2 x :

∫ 1 x 4 x 2 + 1 d x = ln ⁡ cossec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C = ln ⁡ cossec ⁡ tg - 1 ⁡ 2 x - cotg ⁡ tg - 1 ⁡ 2 x + C

Resposta

∫ 1 x 4 x 2 + 1 d x = ln ⁡ cossec ⁡ tg - 1 ⁡ 2 x - cotg ⁡ tg - 1 ⁡ 2 x + C

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