Enunciado

Calcule a integral.

int (1)/(x^2 sqrt(4 x + 1)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(4 x + 1) -> u^2 = 4 x + 1 -> x = (u^2 - 1)/(4)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = 4 d x -> d x = (u d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x^2 sqrt(4 x + 1)) d x = int (u)/(2 u ((u^2 - 1)/(4))^2) d u = int (1)/(((u^2 - 1)^2)/(8)) d u = 8 int (1)/((u^2 - 1)^2) d u = 8 int (1)/((u + 1)^2 (u - 1)^2) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:

(8)/((u + 1)^2 (u - 1)^2) = (A)/(u + 1) + (B)/((u + 1)^2) + (C)/(u - 1) + (D)/((u - 1)^2)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (u + 1)^2 (u - 1)^2 :

1 = A (u + 1) (u - 1)^2 + B (u - 1)^2 + C (u - 1) (u + 1)^2 + D (u + 1)^2

Fazendo u = 1 e substituindo temos que D = (1)/(4) , com u = - 1 temos B = (1)/(4) .

Destrinchando os termos do polinômio ficamos com os coeficientes de u^3 e os coeficientes isolados:

{[[A + C = 0],[A + B - C + D = 1]])

Isolando A na primeira, ficamos com:

A = - C

Substituindo na segunda:

A + B - C + D = 1 -> - C + (1)/(4) - C + (1)/(4) = 1 -> C = - (1)/(4)

A = (1)/(4)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

8 int (1)/((u + 1)^2 (u - 1)^2) d u = 8 int ((1)/(4))/(u + 1) + ((1)/(4))/((u + 1)^2) + (- (1)/(4))/(u - 1) + ((1)/(4))/((u - 1)^2) d u = int (2)/(u + 1) d u + int (2)/((u + 1)^2) d u + int (- 2)/(u - 1) d u + int (2)/((u - 1)^2) d u

Passo 3

Vamos resolver separadamente, para a primeira vamos fazer uma Substituição:

v = u + 1

Derivando:

d v = d u

Substituindo temos:

int (2)/(u + 1) d u = int (2)/(v) d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int (2)/(v) d v = 2 int (1)/(v) d v = 2 ln |v| + C

Passo 4

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

v = u + 1

Derivando:

d v = d u

Substituindo temos:

int (2)/((u + 1)^2) d u = int (2)/(v^2) d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Vamos agora fazer a substituição:

int (2)/(v^2) d v = 2 int (1)/(v^2) d v = - 2 v^(- 1) + C

Passo 5

Para a terceira vamos fazer uma Substituição:

v = u - 1

Derivando:

d v = d u

Substituindo temos:

int (- 2)/(u - 1) d u = int (- 2)/(v) d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int (- 2)/(v) d v = - 2 int (1)/(v) d v = - 2 ln |v| + C

Passo 6

Para a quarta vamos fazer uma Substituição:

v = u - 1

Derivando:

d v = d u

Substituindo temos:

int (2)/((u - 1)^2) d u = int (2)/(v^2) d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Vamos agora fazer a substituição:

int (2)/(v^2) d v = 2 int (1)/(v^2) d v = - 2 v^(- 1) + C

Passo 7

Juntando tudo agora:

int (2)/(u + 1) d u + int (2)/((u + 1)^2) d u + int (- 2)/(u - 1) d u + int (2)/((u - 1)^2) d u = 2 ln |v| - 2 v^(- 1) - 2 ln |v| - 2 v^(- 1) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (1)/(x^2 sqrt(4 x + 1)) d x = int (2)/(u + 1) d u + int (2)/((u + 1)^2) d u + int (- 2)/(u - 1) d u + int (2)/((u - 1)^2) d u = 2 ln |v| - 2 v^(- 1) - 2 ln |v| - 2 v^(- 1) + C = 2 ln |u + 1| - 2 (u + 1)^(- 1) - 2 ln |u - 1| - 2 (u + 1)^(- 1) + C = 2 ln |sqrt(4 x + 1) + 1| - 2 (sqrt(4 x + 1) + 1)^(- 1) - 2 ln |sqrt(4 x + 1) - 1| - 2 (sqrt(4 x + 1) + 1)^(- 1) + C

Resposta

int (1)/(x^2 sqrt(4 x + 1)) d x = 2 ln |sqrt(4 x + 1) + 1| - 2 (sqrt(4 x + 1) + 1)^(- 1) - 2 ln |sqrt(4 x + 1) - 1| - 2 (sqrt(4 x + 1) + 1)^(- 1) + C

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