Calcule a integral

∫ 0 0,6 x 2 9 - 25 x 2 d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = 3 5 sin ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = 3 5 cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral

θ i n f e r i o r : 0 = 3 5 sin ⁡ θ ∴ θ = 0

θ s u p e r i o r : 3 5 = 3 5 sin ⁡ θ ∴ θ = π 2

∫ 0 0,6 x 2 9 - 25 x 2 d x = ∫ 0 π 2 9 25 sin 2 ⁡ θ 9 - 9 sin 2 ⁡ θ ⋅ 3 5 cos ⁡ θ d θ = 9 25 ⋅ 3 5 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ 9 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: s in 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

9 25 ⋅ 3 5 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ 9 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ d θ = 27 125 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ 9 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 27 125 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 9 125 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ , então substituindo

9 125 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ d θ = 9 125 ⋅ 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 9 250 θ - 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 π 2 = 9 250 π 2 - 0 - 0 = 9 π 500

Resposta

∫ 0 0,6 x 2 9 - 25 x 2 d x = 9 π 500

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