Enunciado

Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos de raios r e R .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a área da região em forma de lua crescente, que é limitada pelo arco de raio r e pelo arco de raio R .

Vamos fazer outro esboço da situação, pra gente conseguir ver melhor o que ta acontecendo

Repare que nós temos um cículo maior e um círculo menor criando a nossa área. Assim, usando as equações dos círculos, vamos definir o nosso integrando e calcular a área através da integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação do círculo maior:

x 2 + y 2 = R 2

Agora, do círculo menor (note que ele não esta centrado na origem:

x 2 + y - b 2 = r 2

Na figura, podemos ver que b é a hipotenusa do triangulo retângulo que tem r e R como catetos, então podemos escrever b da seguinte forma:

b = R 2 - r 2

Vamos deixar as equações dos círculos como y em função de x . Assim, temos:

y = R 2 - x 2

E

y = r 2 - x 2 + b

Passo 3

Vamos agora, calcular finalmente a área:

A = ∫ - r r [ r 2 - x 2 + b - R 2 - x 2 ]   d x

Note que ir de - r até r é o mesmo que ir de 0 até r duas vezes. Então, usando a simetria, reescrevemos nosso intervalo de integração:

= 2 ∫ 0 r b + r 2 - x 2 - R 2 - x 2 d x

Agora, como a integral da soma é igual a soma das integrais, temos:

= 2 ∫ 0 r b d x + 2 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x - 2 ∫ 0 r R 2 - x 2   d x

Assim, vamos calcular separadamente cada integral.

Passo 4

Na primeira, teremos:

2 ∫ 0 r b d x

Como b é uma constante:

= 2 b 0 r

Aplicando os limites de integração:

= 2 r R 2 - r 2

Passo 5

Na segunda integral:

2 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x

Vamos fazer a substituindo trigonométrica:

x = r sin ⁡ θ

Dessa forma, temos:

d x = r cos ⁡ θ d θ

Calculando os novos limites de integração e substituindo na integral, ficamos com:

θ i n f e r i o r :     0 = r sin ⁡ θ ∴ θ = 0

θ s u p e r i o r :     r = r sin ⁡ θ ∴ θ = π 2

Agora substituindo tudo na integral:

2 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x = 2 ∫ 0 π 2 r 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ

Colocando r 2 em evidência:

2 ∫ 0 π 2 r 2 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) r cos ⁡ θ d θ

Usando a identidade 1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ e simplificando, temos:

2 ∫ 0 π 2 r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ

Fazendo o produto dos termos:

2 ∫ 0 π 2 r 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ :

2 r 2 ∫ 0 π 2 2 ⋅ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= r 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

E integrando, teremos:

r 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 π 2

= r 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 π 2

Aplicando os limites de integração:

r 2 π 2

= 1 2 π r 2

Passo 6

Agora, calculando a ultima integral (analogamente a segunda), temos que:

2 ∫ 0 r R 2 - x 2   d x

Vamos fazer x = R sin ⁡ θ , de modo que d x = R cos ⁡ θ d θ . Assim, calculando os novos limites de integração:

θ i n f e r i o r :     0 = R sin ⁡ θ ∴ θ = 0

θ s u p e r i o r :     r = R sin ⁡ θ ∴ θ = sin - 1 ⁡ r R = θ *

E substituindo na integral, ficamos com:

2 ∫ 0 r R 2 - x 2   d x = 2 ∫ 0 θ * R 2 - R 2 sin 2 ⁡ θ R cos ⁡ θ d θ

Usando a identidade 1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ e simplificando, temos:

2 ∫ 0 θ * R 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ :

2 R 2 ∫ 0 θ * 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

E integrando, teremos:

R 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 θ *

= R 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 θ *

Passo 7

Antes de aplicar os limites de integração, vamos encontrar agora uma expressão para θ ,     sin ⁡ θ e cos ⁡ θ :

θ = sin - 1 ⁡ x R

sin ⁡ θ = x R

Da resolução, vimos que :

R 2 - x 2 = R cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = R 2 - x 2 R

Então, substituindo no resultado da integral do passo anterior, temos:

R 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 θ *

= R 2 sin - 1 ⁡ x R + x R ⋅ R 2 - x 2 R 0 r

Simplificando:

= R 2 sin - 1 ⁡ x R + x R 2 - x 2 0 r

E aplicando os limites do intervalo:

= R 2 sin - 1 ⁡ r R + r R 2 - r 2  

Passo 8

Agora, basta juntarmos o resultado das 3 integrais:

A = 1 2 π r 2 + 2 r R 2 - r 2 - R 2 sin - 1 ⁡ r R - r R 2 - r 2

A = 1 2 π r 2 + r R 2 - r 2 - R 2 sin - 1 ⁡ r R

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 1 2 π r 2 + r R 2 - r 2 - R 2 sin - 1 ⁡ r R

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