Enunciado

Calcule a integral

int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição para resolver a integral

u = e^x ; x = ln u ; d x = d u // u

int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x = int (1)/(1 + 2 u - (1)/(u)) ((d u)/(u))

Podemos então escrever a integral da seguinte maneira

int (1)/(1 + 2 u - (1)/(u)) ((d u)/(u)) = int (1)/(u + 2 u^2 - 1) d u = int [(2 // 3)/(2 u - 1) - (1 // 3)/(u + 1)] d u

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

int [(2 // 3)/(2 u - 1) - (1 // 3)/(u + 1)] d u = (2)/(3) ln |2 u - 1| - (1)/(3) ln |u + 1| + C

Voltando para x , temos

(2)/(3) ln |2 u - 1| - (1)/(3) ln |u + 1| + C = (2)/(3) ln |2 e^x - 1| - (1)/(3) ln |e^x + 1| + C

Resposta

int (1)/(1 + 2 e^x - e^(- x)) d x = (2)/(3) ln |2 e^x - 1| - (1)/(3) ln |e^x + 1| + C

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