Calcule a integral

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição para resolver a integral

u = e x ; x = ln ⁡ u ; d x = d u / u

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x = ∫ 1 1 + 2 u - 1 u d u u

Podemos então escrever a integral da seguinte maneira

∫ 1 1 + 2 u - 1 u d u u = ∫ 1 u + 2 u 2 - 1 d u = ∫ 2 / 3 2 u - 1 - 1 / 3 u + 1 d u

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∫ 2 / 3 2 u - 1 - 1 / 3 u + 1 d u = 2 3 ln ⁡ 2 u - 1 - 1 3 ln ⁡ u + 1 + C

Voltando para x , temos

2 3 ln ⁡ 2 u - 1 - 1 3 ln ⁡ u + 1 + C = 2 3 ln ⁡ 2 e x - 1 - 1 3 ln ⁡ e x + 1 + C

Resposta

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x = 2 3 ln ⁡ 2 e x - 1 - 1 3 ln ⁡ e x + 1 + C

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