Calcule a integral

∫ e 2 x 1 + e x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição para resolver a integral

u = e x ; x = ln ⁡ u ; d x = d u / u

∫ e 2 x 1 + e x d x = ∫ u 2 1 + u d u u

Podemos então escrever a integral da seguinte maneira

∫ u 2 u + u 2 d u = ∫ u 1 + u d u = ∫ 1 - 1 1 + u d u

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∫ 1 - 1 1 + u d u = u - ln ⁡ u + 1 + C

Voltando para x , temos

u - ln ⁡ u + 1 + C = e x - ln ⁡ e x + 1 + C

Resposta

∫ e 2 x 1 + e x d x = e x - ln ⁡ e x + 1 + C

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