Calcule a integral

∫ s e n   2 x 1 + cos 4 ⁡ x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição, temos

u = cos 2 ⁡ x ; d u = 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x d x = - s e n 2 x

∫ s e n   2 x 1 + cos 4 ⁡ x d x = ∫ - d u 1 + u 2

Passo 3

A integral resultante possui primitiva explícita, dessa forma, temos

∫ - d u 1 + u 2 = - tan - 1 ⁡ u + C

Voltando para x , temos

- tan - 1 ⁡ u + C = - tan - 1 ⁡ ( cos 2 ⁡ x ) + C

Resposta

∫ s e n   2 x 1 + cos 4 ⁡ x d x = - tan - 1 ⁡ ( cos 2 ⁡ x ) + C

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