Calcule a integral

∫ ln ⁡ ( x + 1 ) x 2 d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a técnica de integração por partes, temos

f = ln ⁡ ( x + 1 ) f ' = 1 x + 1 g ' = 1 x 2 g =   - 1 x

∫ ln ⁡ ( x + 1 ) x 2 d x = g =   - 1 x ln ⁡ ( x + 1 ) + ∫ d x x x + 1 = - 1 x ln ⁡ ( x + 1 ) + ∫ 1 x - 1 x + 1 d x

Passo 3

Resolvendo a integral que sobrou, temos

- 1 x ln ⁡ ( x + 1 ) + ∫ 1 x - 1 x + 1 d x = - 1 x ln ⁡ ( x + 1 ) + ln ⁡ x - ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ ln ⁡ ( x + 1 ) x 2 d x = - 1 x ln ⁡ ( x + 1 ) + ln ⁡ x - ln ⁡ x + 1 + C

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