Enunciado

Calcule a integral.

int (x^2 + 1)/((x^2 - 2 x + 2)^2) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma integral que parece ser difícil ser resolvida. Irei te ajudar e te mostrar que não é tão difícil assim.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa. Vamos tentar simplificar a expressão, se formos tentar achar as raízes do denominador vamos ver que o Delta é negativo, assim não temos raízes reais, vamos tentar então ajustar o denominador.

Passo 2

Vamos reescrever ele na forma x^2 - 2 x + 1 + 1 = (x^2 - 2 x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1 , assim vamos fazer essa modificação:

int (x^2 + 1)/((x^2 - 2 x + 2)^2) d x = int (x^2 + 1)/((x - 1)^2 + 1) d x

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição Trigonométrica, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos uma expressão da forma x^2 + a^2 , podemos então usar a mudança de variável usando o termo dentro do quadrado:

x - 1 = a tg theta

a = 1

x = tg theta + 1

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = sec^2 theta d theta

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x^2 + 1)/(((x - 1)^2 + 1)^2) = int ((tg theta + 1)^2 + 1)/((tg^2 theta + 1)^2) sec^2 theta d theta

Passo 3

Aqui podemos usar a identidade trigonométrica tg^2 theta + 1 = sec^2 theta , vamos lá:

int ((tg theta + 1)^2 + 1)/((tg^2 theta + 1)^2) sec^2 theta d theta = int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1 + 1)/((sec^2 theta)^2) sec^2 theta d theta

= int (tg^2 theta + 2 tg theta + 2)/(sec^4 theta) sec^2 theta d theta

= int (tg^2 theta + 2 tg theta + 2)/(sec^2 theta) d theta

Pronto, agora vamos usar mais um artifício, vamos deixar tudo em função de seno e cosseno:

int (tg^2 theta + 2 tg theta + 2)/(sec^2 theta) d theta

= int ((sen^2 theta)/(cos^2 theta) + (2 sen theta)/(cos theta) + 2)/((1)/(cos^2 theta)) d theta

= int ((sen^2 theta)/(cos^2 theta) + (2 sen theta)/(cos theta) + 2) cos^2 theta d theta

= int sen^2 theta + 2 sen theta cos theta + 2 cos^2 theta d theta

= int sen^2 theta + cos^2 theta + 2 sen theta cos theta + cos^2 theta d theta

= int 1 + 2 sen theta cos theta + cos^2 theta d theta

Aqui usamos a identidade trigonométrica sen^2 x + cos^2 x = 1 e vamos usar agora cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) :

int 1 + 2 sen theta cos theta + cos^2 theta d theta

= int 1 + 2 sen theta cos theta + (1 + cos 2 theta)/(2) d theta

= int 1 + 2 sen theta cos theta + (1)/(2) + (cos 2 theta)/(2) d theta

Pronto, agora é simples de resolver!

Passo 4

Vamos separar a expressão em quatro integrais, usando a Regra da Soma:

int 1 + 2 sen theta cos theta + (1)/(2) + (cos 2 theta)/(2) d theta = int 1 d theta + int 2 sen theta cos theta d theta + int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta

Vamos calcular cada uma separadamente:

A primeira é simples, para achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Assim:

int 1 d theta = theta + C

Passo 5

Com a segunda vamos fazer uma substituição, pois temos seno e cosseno nela, assim, podemos usar u como seno, pois como a derivada de seno é dar cosseno fica simples a substituição:

u = sen theta

O que nos dá:

d u = cos theta d theta

Vamos substituir:

int 2 sen theta cos theta d theta = int 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int 2 u d u = 2 int u d u = 2 . ((u^(1 + 1))/(1 + 1)) + C

= (2 u^2)/(2) + C = u^2 + C

Passo 6

Com a terceira é o mesmo esquema da primeira, temos uma constante dentro da integral, assim:

int (1)/(2) d theta = (1)/(2) theta + C

E por último a quarta integral, vamos fazer uma substituição também, pois o cosseno possui uma constante dentro dele:

u = 2 theta

Derivando:

d u = 2 d theta -> d theta = (d u)/(2)

Vamos substituir:

int (cos 2 theta)/(2) d theta = int (cos u)/(4) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos x d x = sen x + C

Aplicando:

int (cos u)/(4) d u = (1)/(4) int cos u d u = (1)/(4) sen u + C

Pronto, agora é só juntar tudo:

int 1 d theta + int 2 sen theta cos theta d theta + int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta

= theta + u^2 + (1)/(2) theta + (1)/(4) sen u + C

= u^2 + (3)/(2) theta + (1)/(4) sen u + C

Passo 7

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int 1 d theta + int 2 sen theta cos theta d theta + int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta

= u^2 + (3)/(2) theta + (1)/(4) sen u + C

= sen^2 theta + (3)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta + C

Para voltar para x vamos isolar ele aqui na substituição que fizemos lá em cima:

x - 1 = tg theta -> theta = arctg (x - 1)

Assim:

int 1 d theta + int 2 sen theta cos theta d theta + int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta

= sen^2 theta + (3)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta + C

= sen^2 (arctg (x - 1)) + (3)/(2) arctg (x - 1) + (1)/(4) sen 2 arctg (x - 1) + C

Resposta

int (x^2 + 1)/((x^2 - 2 x + 2)^2) d x = sen^2 (arctg (x - 1)) + (3)/(2) arctg (x - 1) + (1)/(4) sen 2 arctg (x - 1) + C

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