Calcule a integral.

∫ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x 5 + x 2 + 2 = x 3 - x x 2 + 1 + x 2 + x + 2 →

→ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x = x 3 - x x 2 + 1 x 3 - x + x 2 + x + 2 x 3 - x →

→ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x = x 2 + 1 + x 2 + x + 2 x 3 - x

Temos então que a integral fica:

∫ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x d x = ∫ x 2 + 1 + x 2 + x + 2 x 3 - x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 1 d x + ∫ x 2 + x + 2 x 3 - x d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ x 2 d x = x 2 + 1 2 + 1 + C = x 3 3 + C

Passo 3

Com a segunda, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

∫ 1 d x = x + C

Passo 4

Com a terceira vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x 3 - x = x x 2 - 1 = x x + 1 x - 1

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x 2 + x + 2 x 3 - x = x 2 + x + 2 x x + 1 x - 1 = A x + B x + 1 + C x - 1

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x + 1 x - 1 :

x 2 + x + 2 = A x + 1 x - 1 + B x x - 1 + C x x + 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x 2 + x + 2 = A x + 1 x - 1 + B x x - 1 + C x x + 1

x 2 + x + 2 = A x 2 - x + x - 1 + B x 2 - B x + C x 2 + C x

x 2 + x + 2 = A x 2 - 1 + B x 2 - B x + C x 2 + C x

x 2 + x + 2 = A x 2 - A + B x 2 - B x + C x 2 + C x

x 2 + x + 2 = x 2 A + B + C + x - B + C + - A

Passo 5

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 1 - B + C = 1 - A = 2

Temos que o valor de A é:

- A = 2 → A = - 2

Substituindo na primeira:

A + B + C = 1 → - 2 + B + C = 1 → B + C = 3

Isolando C na segunda:

C = 1 + B

Substituindo C na primeira temos:

B + C = 3 → B + 1 + B = 3 → 2 B = 2 → B = 1

Temos então que C :

C = 1 + B = 1 + 1 = 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x 2 + x + 2 x 3 - x d x = ∫ - 2 x + 1 x + 1 + 2 x - 1 d x = ∫ - 2 x d x + ∫ 1 x + 1 d x + ∫ 2 x - 1 d x =

= - 2 ∫ 1 x d x + ∫ 1 x + 1 d x + 2 ∫ 1 x - 1 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 6

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 2 ∫ 1 x d x = - 2 ln ⁡ x + C

Passo 7

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x + 1 d x = ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 8

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 ∫ 1 x - 1 d x = 2 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

2 ∫ 1 v d v = 2 ln ⁡ v + C

Passo 9

Agora é só juntar tudo:

∫ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 1 d x + ∫ x 2 + x + 2 x 3 - x d x =

= x 3 3 + x - 2 ln ⁡ x + ln ⁡ u + 2 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x d x = x 3 3 + x - 2 ln ⁡ x + ln ⁡ u + 2 ln ⁡ v + C =

= x 3 3 + x - 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ x 5 + x 2 + 2 x 3 - x d x = x 3 3 + x - 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x - 1 + C

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