Enunciado

Calcule a integral.

int (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x^5 + x^2 + 2 = (x^3 - x) (x^2 + 1) + x^2 + x + 2 ->

-> (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) = ((x^3 - x) (x^2 + 1))/(x^3 - x) + (x^2 + x + 2)/(x^3 - x) ->

-> (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) = x^2 + 1 + (x^2 + x + 2)/(x^3 - x)

Temos então que a integral fica:

int (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) d x = int x^2 + 1 + (x^2 + x + 2)/(x^3 - x) d x = int x^2 d x + int 1 d x + int (x^2 + x + 2)/(x^3 - x) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Aplicando:

int x^2 d x = (x^(2 + 1))/(2 + 1) + C = (x^3)/(3) + C

Passo 3

Com a segunda, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c d x = c x + C

Aplicando:

int 1 d x = x + C

Passo 4

Com a terceira vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x^3 - x = x (x^2 - 1) = x (x + 1) (x - 1)

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x^2 + x + 2)/(x^3 - x) = (x^2 + x + 2)/(x (x + 1) (x - 1)) = (A)/(x) + (B)/(x + 1) + (C)/(x - 1)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x + 1) (x - 1) :

x^2 + x + 2 = A (x + 1) (x - 1) + B x (x - 1) + C x (x + 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x^2 + x + 2 = A (x + 1) (x - 1) + B x (x - 1) + C x (x + 1)

x^2 + x + 2 = A (x^2 - x + x - 1) + B x^2 - B x + C x^2 + C x

x^2 + x + 2 = A (x^2 - 1) + B x^2 - B x + C x^2 + C x

x^2 + x + 2 = A x^2 - A + B x^2 - B x + C x^2 + C x

x^2 + x + 2 = x^2 (A + B + C) + x (- B + C) + (- A)

Passo 5

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 1],[- B + C = 1],[- A = 2]])

Temos que o valor de A é:

- A = 2 -> A = - 2

Substituindo na primeira:

A + B + C = 1 -> - 2 + B + C = 1 -> B + C = 3

Isolando C na segunda:

C = 1 + B

Substituindo C na primeira temos:

B + C = 3 -> B + 1 + B = 3 -> 2 B = 2 -> B = 1

Temos então que C :

C = 1 + B = 1 + 1 = 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x^2 + x + 2)/(x^3 - x) d x = int (- 2)/(x) + (1)/(x + 1) + (2)/(x - 1) d x = int (- 2)/(x) d x + int (1)/(x + 1) d x + int (2)/(x - 1) d x =

= - 2 int (1)/(x) d x + int (1)/(x + 1) d x + 2 int (1)/(x - 1) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 6

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- 2 int (1)/(x) d x = - 2 ln |x| + C

Passo 7

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x + 1) d x = int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 8

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

2 int (1)/(v) d v = 2 ln |v| + C

Passo 9

Agora é só juntar tudo:

int (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) d x = int x^2 d x + int 1 d x + int (x^2 + x + 2)/(x^3 - x) d x =

= (x^3)/(3) + x - 2 ln |x| + ln |u| + 2 ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) d x = (x^3)/(3) + x - 2 ln |x| + ln |u| + 2 ln |v| + C =

= (x^3)/(3) + x - 2 ln |x| + ln |x + 1| + 2 ln |x - 1| + C

Resposta

int (x^5 + x^2 + 2)/(x^3 - x) d x = (x^3)/(3) + x - 2 ln |x| + ln |x + 1| + 2 ln |x - 1| + C

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