Calcule a integral.

∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ + 12 d θ

Passo 1

Para essa integral, aplicamos o método da substituição, em que u = sin ⁡ θ :

∫ 1 u 2 - 6 u + 12 d u

Agora usando o método de completar quadrados, temos:

∫ 1 u - 3 2 + 3 d u

Aplicando outra substituição de v = u - 3 :

∫ 1 v 2 + 3 d v

E novamente v = 3 w :

∫ 1 3 ( w 2 + 1 ) d w

1 3 ∫ 1 w 2 + 1 d w

Aplicando regras de integração:

1 3 ∫ 1 w 2 + 1 d w = 1 3 arctan ⁡ w + C

Voltando para a variável θ :

∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ + 12 d θ = 1 3 arctan ⁡ sin ⁡ θ - 3 3 + C

Prontinho!!

Resposta

1 3 arctan ⁡ sin ⁡ θ - 3 3 + C

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