Enunciado

Calcule a integral.

int (ln x)^2 d x

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

int (ln x)^2 d x

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

u = (ln x)^2 ; d u = ? ? ?

d v = d x ; v = ? ? ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Vamos substituir agora:

int (ln x)^2 d x = (ln x)^2 x - int x 2 ln x (1)/(x) d x

= (ln x)^2 x - 2 int ln x d x

Passo 2

Agora temos que resolver:

int ln x d x

Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:

int u d v = u v - int v d u

Vamos fazer então u = ln x e d v = d x :

d u = (1)/(x) d x e v = x

Vamos substituir agora:

int ln x d x = x ln x - int x (1)/(x) d x = x ln x - int d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Assim vamos ficar com:

int 1 d x = x + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

(ln x)^2 x - 2 int ln x d x = (ln x)^2 x - 2 (x ln x - x + C)

= (ln x)^2 x - 2 x ln x + 2 x + C

Prontinho!

Resposta

int (ln x)^2 d x = (ln x)^2 x - 2 x ln x + 2 x + C

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