Enunciado

Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.

∫ 0 π 2 sen ⁡ x - cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

A área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:

A = ∫ a b f x - g x d x

Vamos achar os pontos de integração das curvas, é só igualar as duas:

sen ⁡ x = cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sen 2 ⁡ x → 2 sen 2 ⁡ x + sen ⁡ x = 1 → 2 sen ⁡ x - 1 sen ⁡ x + 1 = 0 → sen ⁡ x = 1 2 → x = π 6

Aqui temos o esboço da região, fazemos atribuindo pontos nas curvas:

Fica mais fácil calcular a integral em relação a x , vamos dividir em duas, a primeira com f x = cos ⁡ 2 x , que é a curva mais a cima, e g x = sen ⁡ x , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = 0 e x = π 6 , os pontos de intersecção das curvas, a segunda com f x = sen ⁡ x , que é a curva mais a cima, e g x = cos ⁡ 2 x , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = π 6 e x = π 2 , os pontos de intersecção das curvas.

Vamos agora achar a área:

A = ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 x - sen ⁡ x d x + ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x - cos ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 x d x + ∫ 0 π 6 - sen ⁡ x d x + ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x d x + ∫ π 6 π 2 - cos ⁡ 2 x d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ cos ⁡ 2 x d x + ∫ - sen ⁡ x d x + ∫ sen ⁡ x d x + ∫ - cos ⁡ 2 x d x = ∫ cos ⁡ 2 x d x - ∫ sen ⁡ x d x + ∫ sen ⁡ x d x - ∫ cos ⁡ 2 x d x = sen ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ x - cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 x d x + ∫ 0 π 6 - sen ⁡ x d x + ∫ π 6 π 2 sen ⁡ x d x + ∫ π 6 π 2 - cos ⁡ 2 x d x = sen ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ x 0 π 6 + - cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 2 π 6 π 2 = sen ⁡ 2 π 6 2 + cos ⁡ π 6 - sen ⁡ 2 . 0 2 + cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 2 - sen ⁡ 2 π 2 2 - - cos ⁡ π 6 - sen ⁡ 2 π 6 2 = 1 2 . 3 2 + 3 2 - 0 + 1 - 0 - 0 - 3 2 - 1 2 . 3 2 = 3 2 3 - 1

Resposta

A = 3 2 3 - 1

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