Calcule a integral.

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos usar Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = ln ⁡ x e d v = 1 x 2 d x :

d u = 1 x d x e v = - 1 x

Vamos substituir agora:

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - 1 x ln ⁡ x - ∫ - 1 x ∙   1 x d x = - 1 x ln ⁡ x - ∫ - 1 x 2 d x = - 1 x ln ⁡ x + ∫ x - 2 d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim vamos ficar com:

∫ x - 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = x - 1 - 1 + C = - 1 x + C  

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - 1 x ln ⁡ x + ∫ x - 2 d x = - 1 x ln ⁡ x - 1 x + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x = - 1 x ln ⁡ x - 1 x 1 2 = - 1 2 ln ⁡ 2 - 1 2 - - 1 1 ln ⁡ 1 - 1 1 = - 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2

Resposta

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x = - 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2

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