Enunciado

Calcule a integral.

int_2^5 (x^2 + 2 x)/(x^3 + 3 x^2 + 4) d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: não dá pra simplificar a expressão, podemos então ver que temos um polinômio de maior grau sendo 3 no denominador e de grau 2 no numerador, vamos fazer uma Substituição com u como a expressão do denominador:

u = x^3 + 3 x^2 + 4

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 3 x^2 + 6 x + 0 d x = 3 (x^2 + 2 x) d x -> x^2 + 2 x d x = (d u)/(3)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x^2 + 2 x)/(x^3 + 3 x^2 + 4) d x = int (1)/(3 u) d u

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(3 u) d u = (1)/(3) int (1)/(u) d u = (1)/(3) ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2 + 2 x)/(x^3 + 3 x^2 + 4) d x = int (1)/(3 u) d u = (1)/(3) ln |u| + C = (1)/(3) ln |x^3 + 3 x^2 + 4| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_2^5 (x^2 + 2 x)/(x^3 + 3 x^2 + 4) d x = ((1)/(3) ln |x^3 + 3 x^2 + 4|)_2^5 = (1)/(3) ln |5^3 + 3 . 5^2 + 4| - ((1)/(3) ln |2^3 + 3 . 2^2 + 4|) = (1)/(3) ln |204| - ((1)/(3) ln |24|) = (1)/(3) (ln 204 - ln 24) = (1)/(3) ln (204)/(24) = (1)/(3) ln (17)/(2)

Aqui no finzinho lembresse que quando temos dois logarítmicos de mesma base subtraindo, podemos colocar eles num logaritmo só dividindo os valores.

Resposta

int_2^5 (x^2 + 2 x)/(x^3 + 3 x^2 + 4) d x = (1)/(3) ln (17)/(2)

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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes . a 1 + 6 x 4 x - 3 2 x + 5 ( b ) 10 5 x 2 - 2 x 3
Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes . ∫ x 6 x 2 - 4d x ∫ x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2d x