Calcule a integral.

∫ 2 5 x 2 + 2 x x 3 + 3 x 2 + 4 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: não dá pra simplificar a expressão, podemos então ver que temos um polinômio de maior grau sendo 3 no denominador e de grau 2 no numerador, vamos fazer uma Substituição com u como a expressão do denominador:

u = x 3 + 3 x 2 + 4

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 3 x 2 + 6 x + 0   d x = 3 x 2 + 2 x d x → x 2 + 2 x   d x = d u 3

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 2 + 2 x x 3 + 3 x 2 + 4 d x = ∫ 1 3 u d u

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 3 u d u = 1 3 ∫ 1 u d u = 1 3 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 + 2 x x 3 + 3 x 2 + 4 d x = ∫ 1 3 u d u = 1 3 ln ⁡ u + C = 1 3 ln ⁡ x 3 + 3 x 2 + 4 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 2 5 x 2 + 2 x x 3 + 3 x 2 + 4 d x = 1 3 ln ⁡ x 3 + 3 x 2 + 4 2 5 = 1 3 ln ⁡ 5 3 + 3 . 5 2 + 4 - 1 3 ln ⁡ 2 3 + 3 . 2 2 + 4 = 1 3 ln ⁡ 204 - 1 3 ln ⁡ 24 = 1 3 ln ⁡ 204 - ln ⁡ 24 = 1 3 ln ⁡ 204 24 = 1 3 ln ⁡ 17 2

Aqui no finzinho lembresse que quando temos dois logarítmicos de mesma base subtraindo, podemos colocar eles num logaritmo só dividindo os valores.

Resposta

∫ 2 5 x 2 + 2 x x 3 + 3 x 2 + 4 d x = 1 3 ln ⁡ 17 2

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