Enunciado

Calcule a integral.

int (sqrt(1 + x^2))/(x) d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma integral onde uma substituição ‘comum’ não funciona muito bem.

Estas integrais são trabalhosas e voc�� sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Como essa aqui, uma substituição simples não funciona, então irei lhe apresentar a substituição trigonométrica.

Tenho até uma tabela para te ajudar:

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que x = tg theta , e theta varia no intervalos - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2) . Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = sec^2 theta d theta .

Agora, achando o valor da nossa hipotenusa sqrt(x^2 + 1) por meio da substituição de x , temos:

sqrt(x^2 + 1) = sec theta

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

int (sqrt(1 + x^2))/(x) d x = int (sec theta)/(tg theta) sec^2 theta d theta

= int (sec theta)/(tg theta) (1 + tg^2 theta) d theta

= int ( csc theta + sec theta tg theta ) d theta

= - ln |csc theta + cot theta| + sec theta + C

= - ln |(sqrt(1 + x^2))/(x) + (1)/(x)| + (sqrt(1 + x^2))/(1) + C

= - ln |(sqrt(1 + x^2) + 1)/(x)| + sqrt(1 + x^2) + C

Resposta

int (sqrt(1 + x^2))/(x) d x = - ln |(sqrt(1 + x^2) + 1)/(x)| + sqrt(1 + x^2) + C

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