Calcule a integral.

∫ 1 x 3 - 1 d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma integral para resolvermos, e nesse caso iremos utilizar a integração por frações parciais.

Primeira coisa que iremos fazer aqui é reescrever a função de forma a podermos aplicar a frações parciais.

x 3 - 1 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

Passo 2

Agora escrevendo em frações:

1 x 3 - 1 = A x - 1 + B x + C x 2 + x + 1

Multiplicando ambos os lados por x 3 - 1 :

1 = A x 2 + x + 1 + ( B x + C ) ( x - 1 )

1 = A x 2 + A x + A + B x 2 - B x + C x - C

1 = A + B x 2 + A - B + C x + A - C

Passo 3

Equacionando os coeficientes de ambos os lados:

0 = A + B

A = - B

0 = A - B + C

1 = A - C

C = A - 1

C = - B - 1

0 = - B - B + - B - 1

0 = - 3 B - 1

B = - 1 3

A = - 1 3 = 1 3

C = 1 3 - 1 = - 2 3

Agora colocando os valores nas frações:

1 x 3 - 1 = 1 3 x - 1 + - 1 3 x - 2 3 x 2 + x + 1 = 1 3 ( x - 1 ) - 1 3 ∙ x + 2 x 2 + x + 1

Passo 4

Calculando a primeira integral:

∫ 1 3 x - 1 d x = 1 3 ln ⁡ x - 1 + C

A segunda iremos separar em duas:

∫ - 1 3 ∙ x + 2 x 2 + x + 1 d x = - 1 3 ∫ x + 1 2 x 2 + x + 1 + 3 2 x 2 + x + 1 d x

= - 1 3 ∫ x + 1 2 x 2 + x + 1 d x - 1 2 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

= - 1 3 ∙ 1 2 ∫ d u u - 1 2 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

= - 1 6 ln ⁡ u - 1 2 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

= - 1 6 ln ⁡ x 2 + x + 1 - 1 2 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

Fração 2, podemos completar o quadrado para obter uma integral de arco tangente.

Passo 5

- 1 2 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x = - 1 2 ∫ 1 x 2 + x + 1 2 2 - 1 2 2 + 1 d x

= - 1 2 ∫ 1 x + 1 2 2 + 3 4 d x

usando a fórmula ∫ d u 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ u a + C

u = x + 1 2

d u = d x

a 2 = 3 4

a = 3 4

- 1 2 ∫ 1 x + 1 2 2 + 3 4 d x = - 1 2 ∫ 1 u 2 + a 2 d u

= - 1 2 ∙ 1 a arctan ⁡ u a + C

= - 1 2 ∙ 1 3 2 arctan ⁡ x + 1 2 3 2

= - 1 3 arctan ⁡ 2 x + 1 3 + C

Somando tudooo:

1 3 ln ⁡ x - 1 - 1 6 ln ⁡ x 2 + x + 1 - 1 3 tan - 1 ⁡ 1 3 ( 2 x + 1 ) + C

Resposta

1 3 ln ⁡ x - 1 - 1 6 ln ⁡ x 2 + x + 1 - 1 3 tan - 1 ⁡ 1 3 ( 2 x + 1 ) + K .

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