Calcule a integral abaixo:

∫ 1 2 + x - 1 2 d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 2 + x - 1 2 d x u = x - 1                   d u = d x  

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 1 2 + u 2     d u

Passo 3

Aplicamos mais uma substituição, agora com o intuito de colocar o 2 em evidência para chegarmos na primitiva trigonométrica tg-1 . Assim:

u = 2 v                                             d u = 2 d v ⇒ d u 2 = d v

1 √ 2 ∫ 1 2 + 2 v 2 d v = 1 √ 2 ∫ 1 2 1 + v 2   d v

Passo 4

Retirando a constante e integrando, temos:

1 2 2 ∫ 1 1 + v 2   d v = 1 2 2   t g - 1 v + C

Passo 5

Substituindo v e u pelas funções que substituímos respectivamente, temos:

v = u 2 ⇒ 1 2 2   t g - 1 u 2 + C

u = x - 1 ⇒ 1 2 2   t g - 1 x - 1 2 + C

Resposta

1 2 2   t g - 1 x - 1 2 + C

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