Calcule a integral abaixo:

∫ 1 t g - 1 y   ( 1 + y 2 )   d y

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 t g - 1 y   ( 1 + y 2 )   d y u = t g - 1 ( y )                   d u = 1 1 + y 2 d y  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 1 u   d u = ∫ u - 1 2   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

∫ u - 1 2     d u     = u 1 2 1 2 + C  

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

2 a r c t g 1 2   y + C = 2 t g - 1 y + C

Resposta

2 t g - 1 y + C

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