Calcule a integral abaixo:

∫ 1 1 + 3 x + 1 2 d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 1 + 3 x + 1 2 d x u = 3 x + 1                   d u = 3 d x ⇒ d u 3 = d x  

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 1 1 + u 2     d u 3 = 1 3 ∫ 1 1 + u 2 d u

Passo 3

Aplicamos agora a integração primitiva trigonométrica:

1 3 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 3 a r c t g u + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

1 3 a r c t g 3 x + 1 + C

Resposta

1 3 a r c t g 3 x + 1 + C

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