Calcule a integral abaixo:

∫ 1 ( x + 3 ) x + 3 2   - 25

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 ( x + 3 ) x + 3 2   - 25 u = x + 3                   d u = d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 1 u u 2 - 25 d u

Passo 3

Para efetuar esta integração pode não ser tão evidente a propriedade, vamos relembrar então que a derivada primitiva da s e c - 1 é dada por:

d s e c - 1 d x = 1 u u 2 - 1   d u d x

E de forma mais genérica, temos então que:

∫ 1 x x 2 - a 2 = 1 a arcsec ⁡ x a + C

Possuindo essa visão podemos aplicar outra substituição ao invés de usar a “fórmula” a cima. Logo:

v = a r s e c u 5 d v = 5 u u 2 - 25     d u

Passo 4

Aplicando a substituição de v:

∫ 1 5 d v = v 5 + C

Passo 5

Substituindo v pela função que atribuímos, temos:

1 5 s e c - 1 u 5 + C

Passo 6

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

1 5 sec - 1 ⁡ x + 3 5 + C

Resposta

1 5 sec - 1 ⁡ x + 3 5 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados