Calcule a integral abaixo sem usar tabela :

∫ - ∞ 0 e - | x |   d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - ∞ , b ] , então:

  ∫ - ∞ b f x d x = ∫ a b f ( x )   d x

Assim:

∫ a 0 e - x   d x  

Passo 2

Para o intervalo - ∞ ≤ x ≤ 0 temos que o equivalente da expressão e - x sem os valores absolutos é e - - x . Logo podemos reescrever a integral da seguinte maneira:

∫ a 0 e - x   d x   =   ∫ a 0 e - ( - x )   d x  

Passo 3

Calculando a integral, temos:

∫ a 0 e - ( - x )   d x   =   ( e x ) 0 a =   ( e 0 - e a ) =   ( 1 - e a )      

Relembrando que de forma genérica calculamos a integral definida da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Aplicando o limite, temos:

( 1 - e a )   = 1 - e - ∞ = 1 - 1 e ∞ = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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