Enunciado

Prove que se

∫ - ∞ b f x d x

For convergente, então

∫ - b + ∞ f - x d x

Também será e terá o mesmo valor.

Passo 1

O enunciado quer que seja provado que as integrais na verdade são iguais, isso porque tem o mesmo valor.

Vamos pegar a que já SABEMOS que é convergente. Chamaremos de M o seu valor.

M = ∫ - ∞ b f x d x

Fazendo a substituição:

x = - a → d x = - d a

E os limites vão ficar:

x → b ⇒ a → - b

x → - ∞ ⇒ a → + ∞

A nossa integral vai ficar:

M = ∫ + ∞ - b f - x - d x = - ∫ + ∞ - b f - x d x

Pelas propriedades de integral, vamos ter que

∫ + ∞ - b f - x d x = - ∫ - b + ∞ f - x d x

Isso nos diz que

M = - - ∫ - b + ∞ f - x d x = ∫ - b + ∞ f - x d x

Logo

∫ - ∞ b f x d x = ∫ - b + ∞ f - x d x

E se a primeira converge, como a segunda é igual, também converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O sono REM é a fase do sono quando os sonhos estão mais ativos. Em um estudo, a quantidade de sono REM durante as primeiro 4 horas de sono foi descrita por uma variável aleatória T com função de densi
O tempo entre infecção e aparecimento dos sintomas para dor de gargante estreptocócica é uma variável aleatória cuja função de densidade de probabilidade pode ser aproximada por f t = 1 15,676 t 2 e -
A função da densidade: f x = e 3 - x 1 + e 3 - x 2 É um exemplo de uma distribuição logística. Verifique que f é uma função densidade de probabilidade.Encontre P 3 ≤ X ≤ 4 .Esboce f . O que faz a médi
Investigar as integrais impróprias seguintes.
Investigar as integrais impróprias seguintes.