Calcule a integral abaixo:

47 –

∫ x + 1 x d x  

Dica: Utilize x + 1 = u^2

Passo 1

∫ x + 1 x d x  

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u 2 = x + 1 ; u =   x + 1 ; x = u 2 - 1

d u = 1 2 x + 1

d x = 1 d u = 1 1 2 x + 1 = 2 x + 1

Substituindo:

∫ u u 2 - 1 ⋅ 2 u d u =   ∫ 2 u 2 u 2 - 1 d u =   ∫ 2 + 2 u 2 - 1 d u =   ∫ 2   d u + 2 ∫ 1 u 2 - 1 d u

Realizando pelo método de frações parciais:

1 u 2 - 1 = 1 ( u + 1 ) ( u - 1 )

1 ( u + 1 ) ( u - 1 ) = A u + 1 + B u - 1

Tirando mmc:

1 u + 1 u - 1 = A ( u - 1 ) + B ( u + 1 ) ( u + 1 ) ( u - 1 )

Simplificando os denominadores temo:

1 = A ( u - 1 ) + B ( u + 1 )

Aplicando a distributiva:

1 = A u - A + B u + B

Colocando em evidência:

1 = A + B u - A + B

A + B = 0

- A + B = 1

Assim:

- A = - B + 1 ; A = B - 1

Substituindo:

B - 1 + B = 0 ; 2 B = 1 ; B = 1 2

- A + 1 2 = 1 ;   - A = 1 - 1 2 ; - A = 1 2 ; A = - 1 2

SubstItuindo:

1 ( u + 1 ) ( u - 1 ) = - 1 2 ( u + 1 ) + 1 2 ( u - 1 )

Inserindo na integral:

∫ 2   d u +   2 ⋅ 1 2 ∫ - 1 u + 1 + 1 u - 1 d u =   ∫ 2   d u   - ∫ 1 u + 1 d u +   ∫ 1 u - 1 d u

Passo 2

Organizando a integral:

∫ 2   d u   - ∫ 1 u + 1 d u +   ∫ 1 u - 1 d u

Realizando a primeira integral:

∫ 2   d u = 2 u

Resolvendo a segunda integral:

- ∫ 1 u + 1 d u =   - ln ⁡ u + 1

Resolvendo a terceira integral:

∫ 1 u - 1 d u = ln ⁡ u - 1

Passo 3

Juntando as integrais:

2 u - ln ⁡ u + 1 + ln ⁡ u - 1

Substituindo, usando u = x + 1

2 x + 1 + ln ⁡ x + 1 - 1 x + 1 + 1 + C

Resposta

2 x + 1 + ln ⁡ x + 1 - 1 x + 1 + 1 + C

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