Enunciado

Fatore x 4 + 1 como uma diferença de quadrados adicionando e subtraindo a mesma quantidade. Use essa fatoração para calcular ∫ 1 x 4 + 1 d x .

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando.

Uma diferença de quadrados é ( a 2 - b 2 ) , e "adicionar e subtrair a mesma quantidade" é algo que você faria ao completar o quadrado.

Vamos fazer a fatoração adicionado e subtraindo 2 x 2 :

x 4 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 - 2 x 2

= x 2 + 1 2 - 2 x 2

= x 2 + 1 2 - 2 x 2

= x 2 + 1 - 2 x x 2 + 1 + 2 x

= x 2 - 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1

Pronto, agora podemos usar Frações Parciais em 1 x 4 + 1 , vamos lá!

Passo 2

1 x 4 + 1 = 1 x 2 - 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1

= A x + B x 2 + 2 x + 1 + C x + D x 2 - 2 x + 1

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x 2 - 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 :

1 = A x + B x 2 - 2 x + 1 + C x + D x 2 + 2 x + 1

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x + B x 2 - 2 x + 1 + C x + D x 2 + 2 x + 1

= x 3 A + C + x 2 2 C - A + B + D + x A + C + B - D 2 + B + D

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + C = 0 2 C - A + B + D = 0 A + C + B - D 2 = 0 B + D = 1

Rerolvendo o sistema vamos achar que:

A = 2 4 ,   B = 1 2 ,   C = - 2 4   e   D = 1 2

Pronto, achamos os valores de A , B , C e D , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 x 4 + 1 d x

= ∫ 2 4 x + 1 2 x 2 + 2 x + 1 + - 2 4 x + 1 2 x 2 - 2 x + 1 d x

= ∫ 1 4 2 2 x + 2 2 x 2 + 2 x + 1 - 2 x - 2 2 x 2 - 2 x + 1 d x

= ∫ 2 8 2 x + 2 x 2 + 2 x + 1 - 2 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x + ∫ 1 4 1 x + 1 2 2 + 1 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 d x

Vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Vamos resolver, com a primeira vamos fazer uma manipulação:

∫ 2 8 2 x + 2 x 2 + 2 x + 1 - 2 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x

= 2 8 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 1 d x - ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 1

Para a primeira vamos fazer uma Substituição:

u = x 2 + 2 x + 1

Derivando:

d u =   2 x + 2 d x

Substituindo temos:

∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 1 d x = ∫ 1 u d u

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 4

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

u = x 2 - 2 x + 1

Derivando:

d u =   2 x - 2 d x

Substituindo temos:

∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ 1 u d u

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 5

Vamos resolver a segunda:

∫ 1 4 1 x + 1 2 2 + 1 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 d x

= 1 4 ∫ 1 x + 1 2 2 + 1 2 d x + ∫ 1 x - 1 2 2 + 1 2 d x

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a tg - 1 ⁡ x a + C

Vamos aplicar:

∫ 1 x + 1 2 2 + 1 2 d x + ∫ 1 x - 1 2 2 + 1 2 d x

= 1 1 2 tg - 1 ⁡ x + 1 2 1 2 + 1 1 2 tg - 1 ⁡ x - 1 2 1 2 + C

= 2 tg - 1 ⁡ 2 x + 1 + 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

Passo 6

Juntando tudo agora:

∫ 1 x 4 + 1 d x

= ∫ 2 8 2 x + 2 x 2 + 2 x + 1 - 2 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x + ∫ 1 4 1 x + 1 2 2 + 1 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 d x

= 2 8 ln ⁡ u - ln ⁡ u + 1 4 2 tg - 1 ⁡ 2 x + 1 + 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 x 4 + 1 d x

= ∫ 2 8 2 x + 2 x 2 + 2 x + 1 - 2 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x + ∫ 1 4 1 x + 1 2 2 + 1 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 d x

= 2 8 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 - ln ⁡ x 2 - 2 x + 1 + 1 4 2 tg - 1 ⁡ 2 x + 1 + 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

Resposta

∫ 1 x 4 + 1 d x = 2 8 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 - ln ⁡ x 2 - 2 x + 1 + 1 4 2 tg - 1 ⁡ 2 x + 1 + 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

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