Enunciado

Calcule a integral   ∫ x 5 . e x 3 d x   . Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão, inicialmente, usaremos o método da substituição. Em seguida vamos usar integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Vamos usar primeiro o método da substituição:

w = x 3

d w = ( x 3 ⁡ ) '   d x

d w = 3 x 2   d x

Agora iremos reorganizar a expressão:

∫ x 5 . e x 3 d x = ∫ x 2 . x 3 . e x 3 d x  

Multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que 3 3 é o melhor número, pois é o mesmo que multiplicar por 1:

= 3 3 ∫ x 2 . x 3 . e x 3 d x

= 1 3 ∫ x 3 . e x 3 . 3 x 2 d x  

= 1 3 ∫ w . e w d w  

Passo 3

Para continuar desenvolvendo integramos ∫ w . e w d w   por partes. Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   w

    Pois é o valor mais simples de derivar .    

d u   =   ( w ) ’ .   d w        

d u   =   d w        

    d v   =   e w   d w

  v = ∫ e w   d w

  v   =   e w

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ w . e w d w = w . e w -   ∫ e w   d w

= w . e w -   e w

Passo 4

E agora é só colocar esse resultado no lugar de ∫ w . e w d w  

= 1 3 ∫ w . e w d w  

= 1 3 w . e w -   e w  

= e w 3 w -   1

Substituímos w = x 3 = e w 3 w -   1

= e x 3 3 x 3 -   1 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ x 5 . e x 3 d x     = e x 3 3 x 3 -   1 + c

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