Enunciado

Use a desigualdade min f^' <= (f (b) - f ( a ))/(b - a) <= max f ' para estimar f ( 0,1 ) se f^' (x) = (1)/(1 - x^4) para 0 <= x <= 0.1 e f (0) = 2 .

Passo 1

Utilizando a desigualdade apresentada queremos uma estimativa para f ( 0.1 ) , com a função f^' (x) e a condição inicial dada.

Passo 2

Para analisarmos o comportamento da função dentro do intervalo, vamos observar a segunda derivada que é

f ' ( x ) = (1 - x^4)^(- 1)

f " ( x ) = ( 1 - x^4 )^(- 2) * ( - 4 x ³ )

Plotando o gráfico de f " ( x ) dentro do intervalo [ 0,0.1 ] temos

a função está crescendo.

Passo 3

Como temos f " ( x ) crescendo nesse intervalo nós podemos fazer estimativas para f^' (x) com os valores extremos do intervalo. Assim,

min f^' tildetilde 1

max f^' tildetilde 1 . 0001

1 <= (f (0.1) - f (0))/(0.1) <= 1 . 0001

1 <= (f (0.1) - 2)/(0.1) <= 1 . 0001

(1) * (0.1) <= f (0.1) - 2 <= ( 1 . 0001 ) * 0.1

0 . 1 <= f (0.1) - 2 <= 0.10001

2.1 <= f (0.1) <= 2 . 1 0001

Resposta

:. 2.1 <= f (0.1) <= 2.10001

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