Calcule a integral.

∫ x cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Para resolvermos essa integral, primeiro precisamos fazer uma integral por partes. Relembrando...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Assim, vamos identificar u = x e d v = cos 2 ⁡ x . Dessa forma, d u = d x e para achar v precisamos calcular a integral

v = ∫ cos 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Neste passo vamos determinar v . Para isso, vamos lembrar a fórmula do arco duplo:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

v = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 x   d x = 1 2 x + 1 4 s e n   2 x

Desta forma, na integração por partes:

∫ x cos 2 ⁡ x   d x = x   1 2 x + 1 4 s e n   2 x - ∫ 1 2 x + 1 4 s e n   2 x d x

Passo 3

Vamos agora calcular a última integral:

∫ x cos 2 ⁡ x   d x = x 2 2 + x 4   s e n �� 2 x - x 2 4 + 1 8 cos ⁡ 2 x + C = x 2 4 + x 4 s e n   2 x + 1 8 cos ⁡ 2 x + C

Resposta

x 2 4 + x 4 s e n   2 x + 1 8 cos ⁡ 2 x + C

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