Calcule a integral indefinida.

∫ arctan ⁡ x   d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral. Para essa integral, vamos investigar com calma a função arcotangente. Sabemos que

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Assim,

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2 ⋅ x ' = 1 2   x + 1   x

Vamos tentar usar isso e fazer uma integração por partes. Lembrando que

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos chamar u = arctan ⁡ x e d v = d x . Assim,

d u = 1 2   x + 1   x   d x           e           v = x

Assim,

I = ∫ arctan ⁡ x   d x = x arctan ⁡ x - ∫ x 2   x + 1   x   d x

Portanto,

I =   x arctan ⁡ x - I 1 ,

onde

I 1 = ∫ x 2   x + 1   x   d x = ∫ x 2   x + 1   d x

Passo 2

Para calcular I 1 , vamos fazer a substituição t = x , assim t 2 = x e

d x = 2 t   d t

Portanto,

I 1 = 1 2 ∫ t t 2 + 1 ⋅ 2 t   d t = ∫ t 2 1 + t 2   d t

Note que t 2 = 1 + t 2 - 1 . Assim,

t 2 1 + t 2 = 1 + t 2 - 1 1 + t 2 = 1 - 1 1 + t 2

Logo,

I 1 = ∫ 1 - 1 1 + t 2   d t = t - arctan ⁡ t

Voltando para variável x :

I 1 = x - arctan ⁡ x

Passo 3

Desta forma, lembrando que

I =   x arctan ⁡ x - I 1 ,

temos que

I =   x arctan ⁡ x - x - arctan ⁡ x

Adicionando a constante de integração:

I = x arctan ⁡ x - x + arctan ⁡ x + C

Resposta

x arctan ⁡ x - x + arctan ⁡ x + C

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