Calcule a integral

∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ 2 x d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sin ⁡ 2 x = ( 1 / 2   ) sin ⁡ x cos ⁡ x . Então, substituindo

∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Agora, vamos separar em duas frações

1 2 ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ 1 sin ⁡ x + 1 cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ csc ⁡ x + sec ⁡ x d x

Podemos separa esta integral em duas da seguinte forma

1 2 ∫ csc ⁡ x + sec ⁡ x d x = 1 2 ∫ csc ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Passo 2

Vamos calcular cada integral separadamente.

Calculando a primeira

∫ csc ⁡ x d x

Vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar toda a integral pelo fator

csc ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x

Daí, ficamos com

∫ csc ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x = ∫ - csc ⁡ x cot ⁡ x + csc 2 ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x

Agora, podemos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc ⁡ x - cot ⁡ x , temos que d u = - csc ⁡ x cot ⁡ x - - csc 2 ⁡ x . Substituindo

∫ - csc ⁡ x cot ⁡ x + csc 2 ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x = ∫ d u u = ln ⁡ u + c 1 = ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + c 1

Passo 3

Vamos calcular a segunda integral agora

∫ sec ⁡ x d x

Esta integral é tabelada, portanto

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 2

Passo 4

Agora, podemos substituir o que encontramos

1 2 ∫ csc ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + c 1 + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 2 = 1 2 ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

Note que uma constante somada com outra constante resulta em uma outra constante, a qual chamei de k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ 2 x d x = 1 2 ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

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