Calcule a integral

∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ ( θ ) ⋅ sec 2 ⁡ θ tan 4 ⁡ θ d θ

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( t ) + 1 = sec 2 ⁡ ( t )

Então, substituindo

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ ( θ ) ⋅ sec 2 ⁡ θ tan 4 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) ⋅ tan 4 ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = tan ⁡ θ , então d u = sec 2 ⁡ ( θ ) d θ . Vamos também mudar o limite de integração pra não precisarmos retornar com a variável depois, basta resolvermos assim

u i n f e r i o r = tan ⁡ 0 = 0

u s u p e r i o r = t a n ⁡ ( π / 4 ) = 1

Então, basta integrarmos u de 0 até 1

∫ 0 1 u 2 + 1 u 4 d u = ∫ 0 1 u 6 + u 4 d u = 1 7 u 7 + 1 5 u 5 0 1 = 1 7 + 1 5 = 12 35

Resposta

∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ = 12 35

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