Calcule a integral definida.

∫ 0 1 x d x x 3 + 2 x 2 + x + 2

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos fatorar o denominador. Podemos fatorar rapidamente agrupando:

x 3 + 2 x 2 + x + 2 = x 2 x + 2 + 1 x + 2 = ( x 2 + 1 ) ( x + 2 )

Agora podemos tentar abrir a fração:

x x 3 + 2 x 2 + x + 2 = A x + 2 + B x + C x 2 + 1

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A x + 2 + B x + C x 2 + 1 = A x 2 + 1 + B x + C ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) = A x 2 + A + B x 2 + 2 B x + C x + 2 C ( x + 2 ) ( x 2 + 1 )

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B x 2 + 2 B + C x + A + 2 C x x 2 + 4 = x ( x + 2 ) ( x 2 + 1 )    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. 2 B + C = 1
  3. A + 2 C = 0

De (1) tiramos que B = - A e de (3) que C = - A 2 . Então de (2) temos - 2 A - A 2 = 1 ⇒ A = - 2 5 . Temos então B = 2 5 e C = 1 5 . Então obtemos nossas frações parciais:

x ( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) = - 2 5 x + 2 + 2 x + 1 5 x 2 + 1

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ 0 1 x d x x + 2 x 2 + 1 = - 2 5 ∫ d x x + 2 + 1 5 ∫ 2 x d x x 2 + 1 + 1 5 ∫ d x 1 + x 2

= - 2 5 ln ⁡ x + 2 0 1   + 1 5 ln ⁡ x 2 + 1 0 1   + 1 5 arctan ⁡ x 0 1   =

= - 2 5 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 + 1 5 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 + 1 5 arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 =

= 3 5 ln ⁡ 2 - 2 5 ln ⁡ 3 + π 20

Resposta

3 5 ln ⁡ 2 - 2 5 ln ⁡ 3 + π 20

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