Calcule a integral definida.

∫ 0 1 9 d x 8 x 3 + 1

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos fatorar o denominador. Podemos fatorar pela fórmula da soma de cubos, a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ) :

8 x 3 + 1 = 2 x 3 + 1 3 = ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 - 2 x + 1 )

Agora podemos tentar abrir a fração:

9 ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 - 2 x + 1 ) = A 2 x + 1 + B x + C 4 x 2 - 2 x + 1

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C.

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A 2 x + 1 + B x + C 4 x 2 - 2 x + 1 = A 4 x 2 - 2 x + 1 + B x + C 2 x + 1 2 x + 1 4 x 2 - 2 x + 1

= A 4 x 2 - 2 x + 1 + B 2 x 2 + x + C ( 2 x + 1 ) 2 x + 1 4 x 2 - 2 x + 1

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

4 A + 2 B x 2 + - 2 A + B + 2 C x + ( A + C ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 - 2 x + 1 ) = 9 ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 - 2 x + 1 )    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. 4 A + 2 B = 0
  2. - 2 A + B + 2 C = 0
  3. A + C = 9

De (1) tiramos que B = - 2 A e de (3) que C = 9 - A . Substituindo então em (2): - 2 A - 2 A + 18 - 2 A = 0 ⇒ - 6 A = - 18 ⇒ A = 3 . Então B = - 6 e C = 6 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

9 ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 - 2 x + 1 ) = 3 2 x + 1 + - 6 x + 6 4 x 2 - 2 x + 1

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ 9 d x 8 x 3 + 1 = ∫ 3 d x 2 x + 1 - 6 ∫ ( x - 1 ) d x 4 x 2 - 2 x + 1

A primeira integral calculamos facilmente:

∫ 3 d x 2 x + 1 = 3 2 ∫ d x x + 1 2 = 3 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Para a segunda, devemos tentar colocar 4 x 2 - 2 x + 1 ' = 8 x - 2 no numerador, para conseguirmos integrar facilmente com l n . Então fazemos assim:

- 6 ∫ x - 1 d x 4 x 2 - 2 x + 1 = - 6 8 ∫ 8 x - 8 d x 4 x 2 - 2 x + 1 = - 3 4 ∫ 8 x - 2 - 6 d x 4 x 2 - 2 x + 1

= - 3 4 ∫ 8 x - 2 d x 4 x 2 - 2 x + 1 + 18 4 ∫ d x 4 x 2 - 2 x + 1 = - 3 4 ln ⁡ 4 x 2 - 2 x + 1 + 9 4 ∫ d x x 2 - x 2 + 1 4

Vamos completar o quadrado na integral restante:

9 4 ∫ d x x 2 - x 2 + 1 4 = 9 4 ∫ d x x - 1 4 2 + 3 4 2   = 9 4 ⋅ 4 3 arctan ⁡ x - 1 2 3 4 + C

= 3 3 arctan ⁡ 4 3 x - 1 2 + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

∫ 0 1 9 d x 8 x 3 + 1 = 3 2 ln ⁡ x + 1 2 0 1 - 3 4 ln ⁡ 4 x 2 - 2 x + 1 0 1 + 3 3 arctan ⁡ 4 3 x - 1 2 0 1

= 3 2 ln ⁡ 3 2 - 3 2 ln ⁡ 1 2 - 3 4 ln ⁡ 3 + 3 4 ln ⁡ 1 + 3 3 arctan ⁡ 2 3 - 3 3 arctan ⁡ - 2 3

3 4 ln ⁡ 3 + 3 3 arctan ⁡ 2 3 - 3 3 arctan ⁡ - 2 3

Resposta

3 4 ln ⁡ 3 + 3 3 arctan ⁡ 2 3 - 3 3 arctan ⁡ - 2 3

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