Calcule a integral definida.

∫ 0 1 x 2 + 3 x + 3 d x x 3 + x 2 + x + 1

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Primeiro devemos farotar o denominador. Fazemos isso facilmente por agrupamento, dessa forma:

x 3 + x 2 + x + 1 = x 2 x + 1 + 1 x + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Agora, vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

x 2 + 3 x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = A x + 1 + B x + C x 2 + 1

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A x + 1 + B x + C x 2 + 1 = A x 2 + 1 + B x + C x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

= A x 2 + 1 + B x 2 + x + C ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B x 2 + B + C x + ( A + C ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = x 2 + 3 x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 1
  2. B + C = 3
  3. A + C = 3

De (1) tiramos que B = 1 - A e de (2) que C = 3 - A . De (2), obtemos então 1 - A + 3 - A = 3 ⇒ 2 A = 1 ⇒ A = 1 2 . Então B = 1 2 e C = 5 2 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

x 2 + 3 x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 2 ( x + 1 ) + x + 5 2 ( x 2 + 1 )

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ x 2 + 3 x + 3 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 2 ∫ d x ( x + 1 ) + 1 2 ∫ ( x + 5 ) d x x 2 + 1

A primeira integral calculamos facilmente:

1 2 ∫ d x ( x + 1 ) = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) + C

Separamos a segunda integral em duas:

1 2 ∫ ( x + 5 ) d x x 2 + 1 = 1 4 ∫ 2 x d x x 2 + 1 + 5 2 ∫ d x x 2 + 1 = 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + 5 2 arctan ⁡ x + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

∫ 0 1 x 2 + 3 x + 3 d x x 3 + x 2 + x + 1 = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) 0 1 + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 0 1 + 5 2 arctan ⁡ x 0 1

= 1 2 ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + 1 4 ln ⁡ 2 - 1 4 ln ⁡ 1 + 5 2 arctan ⁡ 1 - 5 2 arctan ⁡ 0 = 3 4 ln ⁡ 2 + 5 π 8

Resposta

3 4 ln ⁡ 2 + 5 π 8

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