Calcule a integral definida.

∫ 0 1 / 2 ( x + 1 ) d x x 3 - 1

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Primeiro devemos farotar o denominador. Usamos a fórmula de fatoração da diferença de cubos: a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) . Então:

x 3 - 1 = x 3 - 1 3 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

Agora, vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

x + 1 x - 1 x 2 + x + 1 = A x - 1 + B x + C x 2 + x + 1

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A x - 1 + B x + C x 2 + x + 1 = A x 2 + x + 1 + B x + C x - 1 x - 1 x 2 + x + 1

= A x 2 + x + 1 + B x 2 - 1 + C ( x - 1 ) x - 1 x 2 + x + 1

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B x 2 + A + C x + ( A - B - C ) x - 1 x 2 + x + 1 = x + 1 x - 1 x 2 + x + 1    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. A + C = 1
  3. A - B - C = 1

De (1) tiramos que B = - A e de (2) que C = 1 - A . De (4), obtemos então A - - A - 1 - A = 1 ⇒ 3 A = 2 ⇒ A = 2 3 . Então B = - 2 3 e C = 1 3 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

x + 1 x - 1 x 2 + x + 1 = 2 3 ( x - 1 ) + - 2 x + 1 3 ( x 2 + x + 1 )

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ x + 1 d x x - 1 x 2 + x + 1 = 2 3 ∫ d x ( x - 1 ) - 1 3 ∫ ( 2 x - 1 ) d x x 2 + x + 1

A primeira integral calculamos facilmente:

2 3 ∫ d x ( x - 1 ) = 2 3 ln ⁡ x - 1 + C

Para a segunda, devemos tentar colocar x 2 + x + 1 ' = 2 x + 1 no numerador, para conseguirmos integrar facilmente. Então fazemos assim:

- 1 3 ∫ 2 x - 1 d x x 2 + x + 1 = - 1 3 ∫ 2 x + 1 - 2 d x x 2 + x + 1 = - 1 3 ∫ 2 x + 1 d x x 2 + x + 1 + 2 3 ∫ d x x 2 + x + 1

= - 1 3 ∫ d x 2 + x + 1 x 2 + x + 1   + 2 3 ∫ d x x + 1 2 2 + 3 2 2

= - 1 3 ln ⁡ x 2 + x + 1 + 2 3 ⋅ 2 3 arctan ⁡ 2 3 x + 1 2 + C

- 1 3 ln ⁡ x 2 + x + 1 + 4 3 3 arctan ⁡ 2 x 3 + 1 3 + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

∫ 0 1 / 2 ( x + 1 ) d x x 3 - 1 = 2 3 ln ⁡ | x - 1 | 0 1 / 2 - 1 3 ln ⁡ x 2 + x + 1 0 1 / 2 + 4 3 3 arctan ⁡ 2 x 3 + 1 3 0 1 / 2

= 2 3 ln ⁡ 1 2 - 2 3 ln ⁡ 1 - 1 3 ln ⁡ 7 4 + 1 3 ln ⁡ 1 + 4 3 3 arctan ⁡ 2 3 - 4 3 3 arctan ⁡ 1 3

= 1 3 ln ⁡ 7 + 4 3 3 arctan ⁡ 2 3 - 4 3 3 arctan ⁡ 1 3  

Resposta

1 3 ln ⁡ 7 + 4 3 3 arctan ⁡ 2 3 - 4 3 3 arctan ⁡ 1 3

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