Calcule a integral definida:

∫ 0 1 x 2 d x 4 - x 2

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver a integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos 2 2 - x 2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 sen ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 2 sen ⁡ θ d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - x 2 = - 4 sen 2 ⁡ θ     →           4 - x 2 = 4 - 4 sen 2 ⁡ θ = 4 1 - sen 2 ⁡ θ ⏞ cos 2 ⁡ θ = 2 2 cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral:

∫ x 2 d x 4 - x 2 = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ 2 2 cos 2 ⁡ θ = 4 ⋅ 2 2 ∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ cos ⁡ θ = 4 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Aqui vamos usar a relação uma relação trigonométrica.

4 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ = 4 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 2 ∫ ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ = 2 θ - sen ⁡ 2 θ 2 + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 2  sen ⁡ θ , temos:

∫ x 2 d x 4 - x 2 = 2 θ - sen ⁡ 2 θ ⏞ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C = 2 θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Perceba que θ = sen - 1 ⁡ x 2   , pois x = 2 sen ⁡ θ . Para achar cos ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição som seno construído no início e utilizamos as relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x 2             e           cos ⁡ θ = a 2 - x 2 a = 4 - x 2 2

Dessa forma,

∫ x 2 d x 4 - x 2 = 2 θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C = 2 sen - 1 ⁡ x 2 - 2 x 2 4 - x 2 2 + C

∫ x 2 d x x 2 + 4 2 = 2 sen - 1 ⁡ x 2 - x 4 - x 2 2 + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 1 x 2 d x 4 - x 2 = 2 sen - 1 ⁡ x 2 - x 4 - x 2 2 0 1

= 2 sen - 1 ⁡ 1 2 - 4 - 1 2 - 2 sen - 1 ⁡ 0 2 - 0 4 - 0 2 2

= 2 sen - 1 ⁡ 1 2 - 3 2 = 2 π 6 - 3 2 = π 3 - 3 2 = 2 π - 3 3 6

E esse é o resultado procurado. Lembre-se que sen - 1 ⁡ 1 2 = π 6 .

Resposta

∫ 0 1 x 2 d x 4 - x 2 = 2 π - 3 3 6

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