Calcule a integral indefinida:

∫ 16 - e 2 x e x d x

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = e x   →     d u = e x d x , então:

∫ 16 - e 2 x e x d x = ∫ e x 16 - e x 2 e x e x d x = ∫ e x 16 - e x 2 e x 2 d x = ∫ 16 - u 2 u 2 d u

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos a expressão 4 2 - u 2 no, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 4 sen ⁡ θ . Façamos então a substituição:

u = 4 sen ⁡ θ d u = 4 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - u 2 = - 4 2 sen 2 ⁡ θ     →       16 - u 2 = 16 - 16 sen 2 ⁡ θ = 16 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) = 4 2 cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

∫ 16 - u 2 u 2 d u = ∫ 4 2 cos 2 ⁡ θ ( 4 sen ⁡ θ ) 2 4 cos ⁡ θ d θ = 4 ⋅ 4 4 2 ∫ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ cot 2 ⁡ θ d θ

= ∫ ( csc 2 ⁡ θ - 1 ⏞ cot 2 ⁡ θ ) d θ = - cot ⁡ θ - θ + C

Lembre-se que – cot ⁡ θ ' = csc 2 ⁡ θ .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 4 sen ⁡ θ , então θ = sen - 1 ⁡ u 4 . Para achar cot ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com s e n   construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

cot ⁡ θ = a 2 - x 2 x   →     cot ⁡ θ = 16 - u 2 u

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ 16 - e 2 x e x d x = - cot ⁡ θ - θ + C = - 16 - u 2 u - sen - 1 ⁡ u 4 + C

Também efetuamos a substituição u = e x , então, o resultado da integral é:

∫ 16 - e 2 x e x d x = - 16 - ( e x ) 2 e x - sen - 1 ⁡ e x 4 + C

Resposta

∫ 16 - e 2 x e x d x = - 16 - e 2 x e x - sen - 1 ⁡ e x 4 + C

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