Calcule a integral definida:

∫ 0 4 d x 1 + x

Passo 1

Pessoal, podemos resolver essa integral definida de duas formas, resolvendo a indefinida e no final a definida, ou ir resolvendo no meio do caminho trocando os limites de integração. Vamos resolver a indefinida e depois a definida, ok?

Para resolver essa integral, vamos começar fazendo a substituição x = u , então 1 2 x d x = d u →     d x = 2 x d u = 2 u d u .

∫ d x 1 + x = ∫ 2 u d u 1 + u = 2 ∫ u d u 1 + u = 2 ∫ ( 1 + u - 1 ) 1 + u d u

Acima eu somei 1 e tirei 1, isso facilita a simplificação.

2 ∫ ( 1 + u - 1 ) 1 + u d u = 2 ∫ 1 - 1 u + 1 d u

Passo 2

Lembrando que ∫ 1 x ± a d x = ln ⁡ x ± a + C , temos:

2 ∫ 1 - 1 u + 1 = 2 u - 2 ln ⁡ u + 1 + C

Passo 3

Vamos agora voltar na variável x para resolver a integral definida.

∫ d x 1 + x = 2 u - 2 ln ⁡ u + 1 + C = 2 x - 2 ln ⁡ x + 1 + C

Passo 4

Agora vamos resolver a definida. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 4 d x 1 + x = 2 x - 2 ln ⁡ x + 1 0 4 = 2 4 - 2 ln ⁡ 4 + 1 - 2 0 - 2 ln ⁡ 0 + 1

∫ 0 4 d x 1 + x = 4 - 2 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 0 4 d x 1 + x = 4 - 2 ln ⁡ 3

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