Calcule a integral indefinida:

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos lembrar o seguinte: Se um integrando for uma função racional de sen ⁡ x e cos ⁡ x , ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição z = tan ⁡ x 2 e temos um teorema na seção que diz, que, nesse caso,

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2               cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2                 tan ⁡ x = 2 z 1 - z 2             d x = 2 d z 1 + z 2

Vamos aplicar o teorema acima com as fórmulas na nossa questão. Fazendo a substituição z = tan ⁡ x 2 e desenvolvendo a expressão, temos:

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x = ∫ 5 d x 6 + 4 1 cos ⁡ x = ∫ 5 cos ⁡ x d x 6 cos ⁡ x + 4 = ∫ 5 1 - z 2 1 + z 2 2 d z 1 + z 2 6 1 - z 2 1 + z 2 + 4

= ∫ 10 1 - z 2 1 + z 2 6 1 - z 2 + 4 1 + z 2 d z = ∫ 10 1 - z 2 1 + z 2 6 - 6 z 2 + 4 + 4 z 2 d z = 10 ∫ 1 - z 2 ( 1 + z 2 ) ( - 2 z 2 + 10 ) d z

= 10 ∫ 1 - z 2 - 2 ( 1 + z 2 ) ( z 2 - 5 ) d z = - 5 ∫ 1 - z 2 1 + z 2 z 2 - 5 d z = 5 ∫ z 2 - 1 ( z 2 + 1 ) ( z 2 - 5 ) d z

Passo 2

Para resolver a integral acima, devemos decompor o integrando em frações parciais da seguinte forma:

z 2 - 1 ( z 2 + 1 ) ( z 2 - 5 ) = z 2 - 1 z 2 + 1 z - 5 z + 5 = A z - 5 + B z + 5 + C z + D z 2 + 1

Tirando o MMC e igualando o numerador, ficamos com:

z 2 - 1 = A z + 5 z 2 + 1 + B z - 5 z 2 + 1 + C + D ( z 2 - 5 )

Para z = - 5 , temos:

5 - 1 = B - 5 - 5 5 + 1   →         4 = - 6 ⋅ 2 5 B   →       B = - 4 12 5 = - 1 3 5

Para z = 5 , temos:

5 - 1 = A 5 + 5 5 + 1   →         4 = 6 ⋅ 2 5 A     →         A = 1 3 5

Agora substituímos para achar C e D. Fazendo z = 0 , temos:

0 - 1 = 1 3 5 0 + 5 0 + 1 + - 1 3 5 0 - 5 0 + 1 + 0 + D ( 0 - 5 )

- 1 = 5 3 5 + 5 3 5 - 5 D

5 D = 1 3 + 1 3 + 1 = 2 3 + 3 3 = 5 3     →         D = 1 3

Agora, vamos apenas olhar o termo constante da expressão abaixo, que será:

z 2 - 1 = A z + 5 z 2 + 1 + B z - 5 z 2 + 1 + C + D ( z 2 - 5 )

A 5 - 5 B - 5 C - 5 D = 1 3 5 5 + 5 1 3 5 - 5 3 - 5 C = 1 3 + 1 3 - 5 3 - 5 C = - 1 - 5 C

Esse termo deve ser igual ao termo constante do lado esquerdo, isso vem da igualdade de polinômios. Dessa forma,

- 1 - 5 C = - 1     →         C = 0

E a decomposição é:

z 2 - 1 z 2 + 1 z - 5 z + 5 = 1 3 5 z - 5 + - 1 3 5 z + 5 + 1 3 z 2 + 1

Passo 3

A partir da decomposição anterior, temos:

5 ∫ z 2 - 1 ( z 2 + 1 ) ( z 2 - 5 ) d z = 5 ∫ 1 3 5 z - 5 + - 1 3 5 z + 5 + 1 3 z 2 + 1 d z

= 5 3 5 ∫ d z z - 5 - 5 3 5 ∫ d z z + 5 + 5 3 ∫ 1 z 2 + 1 d z

Passo 4

Para resolver as integrais, nós vamos utilizar a fórmula ∫ 1 x - a d x = ln ⁡ x - a + C . Dessa forma,

∫ d z z - 5 = ln ⁡ z - 5 + C             e               ∫ d z z + 5 = ln ⁡ z + 5 + C

Agora, para resolver a terceira integral, basta lembrar que tan - 1 ⁡ z ' = 1 z 2 + 1 .

∫ 1 z 2 + 1 d z = tan - 1 ⁡ z + 1

Prontinho.

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral.

5 ∫ z 2 - 1 ( z 2 + 1 ) ( z 2 - 5 ) d z = 5 3 5 ∫ d z z - 5 - 5 3 5 ∫ d z z + 5 + 5 3 ∫ d z z 2 + 1

= 5 3 5 ln ⁡ z - 5 - 5 3 5 ln ⁡ z + 5 + 5 3 tan - 1 ⁡ z + + C

5 ∫ z 2 - 1 ( z 2 + 1 ) ( z 2 - 5 ) d z = 5 3 ln ⁡ z - 5 - 5 3 ln ⁡ z + 5 + 5 3 tan - 1 ⁡ z + + C

Passo 6

A integral inicial foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável também. Sendo assim,

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x = 5 3 ln ⁡ z - 5 - 5 3 ln ⁡ z + 5 + 5 3 tan - 1 ⁡ z + + C

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x = 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 5 - 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 5 + 5 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ x 2 + + C

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x = 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 5 - 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 5 + 5 3 ⋅ x 2 + C

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x = 5 x 6 + 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 5 - 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 5 + C

Esse é o resultado.

Resposta

∫ 5 d x 6 + 4 sec ⁡ x = 5 x 6 + 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 5 - 5 3 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 5 + C

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