Enunciado

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

8. ∫ 1 2 4 - 3 x 8 d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 1 2 4 - 3 x 8 d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 4 - 3 x

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = - 3 d x

∴ - d u 3 = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 1 2 4 - 3 x 8 d x = - 1 3 ∫ 1 2 u 8 d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = 4 - 3 x

u 1 = 4 - 3.1 = 1

u 2 = 4 - 3.2 = - 2

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

- 1 3 ∫ 1 - 2 u 8 d u = - 1 3 . u 9 9   - 2 1

- 1 3 ∫ 1 - 2 u 8 d u = - 1 3 - 2 9 9 - 1 9 9 = 19

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

- 1 3 ∫ 1 2 u 8 d u = - 1 3 . u 9 9   2 1

- 1 3 ∫ 1 2 u 8 d u = - 1 3 . 4 - 3 x 9 9   2 1 = - 1 3 - 2 9 9 - 1 9 9 = 19

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 1 2 4 - 3 x 8 d x = 19

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O cálculo de uma integral pode, às vezes, levar a repostas aparentemente diferentes (Exercícios 67 e 68). Explique por que isso ocorre e dê um exemplo. Como você poderia mostrar que duas respostas apa
Resolva os problemas de valor inicial: d y d t =- e 2 t , y 0 = 6
Deduza a Fórmula (7) de integração.
Seja y ( t ) o número de células de E .c o l i num recipiente de solução nutriente t minutos depois do início de um experimento. Suponha que y ( t ) seja modelada pelo problema de valor inicial. d y d
Suponha que uma população p de rãs em um lago está estimada no começo de 2010 em 100.000, e que o modelo de crescimento para a população p ( t ) supõe que a taxa de crescimento (em milhares) após t an